设((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ... (X)_(25))是来自正态总体((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ... (X)_(25))的样本，((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ... (X)_(25))是样本均值，则((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ... (X)_(25))注：((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ... (X)_(25))A.0.4514B.0.5441C.0.4415D.0.5414

考查要点：本题主要考查正态总体样本均值的分布及其概率计算，涉及标准化转换和标准正态分布函数的应用。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：根据正态总体的性质，样本均值$\overline{X}$仍服从正态分布，其均值与总体均值相同，方差为总体方差除以样本容量。
2. 标准化转换：将原概率问题转化为标准正态分布变量$Z$的范围问题。
3. 利用标准正态分布函数：通过$\varphi(0.6)$的值计算概率，注意绝对值不等式的处理。

破题关键点：

• 正确计算样本均值的标准差：$\sigma_{\overline{X}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = 0.4$。
• 标准化公式：$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}}$对应标准正态变量$Z$。
• 绝对值概率公式：$P(|Z| \leq z) = 2\varphi(z) - 1$。

步骤1：确定样本均值的分布

总体$X \sim N(21, 4)$，样本容量$n=25$，则样本均值$\overline{X}$服从：
$\overline{X} \sim N\left(21, \frac{4}{25}\right) \implies \overline{X} \sim N(21, 0.4^2)$

步骤2：标准化转换

将不等式$|\overline{X} - 21| \leq 0.24$标准化：
$P\left( \left|\frac{\overline{X} - 21}{0.4}\right| \leq \frac{0.24}{0.4} \right) = P(|Z| \leq 0.6)$
其中$Z \sim N(0,1)$。

步骤3：计算概率

根据标准正态分布函数$\varphi(0.6) = 0.7257$：
$P(|Z| \leq 0.6) = 2\varphi(0.6) - 1 = 2 \times 0.7257 - 1 = 0.4514$