题目
7.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，且Xsim P(lambda),lambda>0，求T=sum_(i=1)^nX_(i)的抽样分布.
7.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的样本，且$X\sim P(\lambda),\lambda>0$，求$T=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$的抽样分布.
题目解答
答案
为了确定 $ T = \sum_{i=1}^{n} X_i $ 的抽样分布，其中 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是来自总体 $ X $ 的样本，且 $ X \sim P(\lambda) $（即 $ X $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布），我们可以按照以下步骤进行：
1. **理解泊松分布的性质**：
泊松分布具有可加性。这意味着如果 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 是独立的泊松随机变量，分别服从参数 $ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n $，那么它们的和 $ X_1 + X_2 + \cdots + X_n $ 也服从泊松分布，参数为 $ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n $。
2. **应用泊松分布的可加性**：
在这个问题中，$ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 都是来自同一总体 $ X $ 的样本，因此它们都是独立的泊松随机变量，每个服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布。根据泊松分布的可加性，它们的和 $ T = X_1 + X_2 + \cdots + X_n $ 服从参数为 $ n\lambda $ 的泊松分布。
3. **结论**：
因此， $ T = \sum_{i=1}^{n} X_i $ 的抽样分布是泊松分布，参数为 $ n\lambda $。我们可以表示为 $ T \sim P(n\lambda) $。
最终答案是：
\[
\boxed{P(n\lambda)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布的可加性及其应用。
解题核心思路：利用独立同分布泊松随机变量之和的分布性质，直接推导统计量$T$的抽样分布。
破题关键点：
- 泊松分布的可加性：若多个独立的泊松随机变量相加，则其和仍服从泊松分布，参数为各变量参数之和。
- 独立同分布样本的性质：题目中样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$独立且均服从$P(\lambda)$，因此可以直接应用可加性。
步骤1：明确泊松分布的可加性
若$X \sim P(\lambda_1)$，$Y \sim P(\lambda_2)$，且$X$与$Y$独立，则$X + Y \sim P(\lambda_1 + \lambda_2)$。此性质可推广到$n$个独立泊松随机变量之和。
步骤2：应用可加性到样本求和
题目中$X_1, X_2, \cdots, X_n$独立且均服从$P(\lambda)$，因此它们的和$T = \sum_{i=1}^{n} X_i$服从参数为$\lambda + \lambda + \cdots + \lambda = n\lambda$的泊松分布。
步骤3：结论
综上，$T$的抽样分布为$P(n\lambda)$。