题目
设总体Xsim b(1,p)，X_1,X_2,...,X_n是取自总体X的一个样本，则参数p的最大似然估计为(）.A. hat(p)=overline(X)B. hat(p)=-overline(X)C. hat(p)=2overline(X)
设总体$X\sim b(1,p)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是取自总体$X$的一个样本，则参数$p$的最大似然估计为(）.
A. $\hat{p}=\overline{X}$
B. $\hat{p}=-\overline{X}$
C. $\hat{p}=2\overline{X}$
题目解答
答案
A. $\hat{p}=\overline{X}$
解析
步骤 1：定义似然函数
设总体 $X \sim b(1, p)$，即 $X$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布。似然函数为： \[ L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i} \]
步骤 2：取对数似然函数
取对数似然函数： \[ \ell(p) = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i) \ln (1-p) \]
步骤 3：求导并令其为零
求导并令其为零： \[ \frac{d\ell(p)}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{n-\sum x_i}{1-p} = 0 \]
步骤 4：解方程求得最大似然估计
解得： \[ p = \frac{\sum x_i}{n} = \overline{x} \] 因此，参数 $ p $ 的最大似然估计为： \[ \hat{p} = \overline{X} \]
设总体 $X \sim b(1, p)$，即 $X$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布。似然函数为： \[ L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i} \]
步骤 2：取对数似然函数
取对数似然函数： \[ \ell(p) = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i) \ln (1-p) \]
步骤 3：求导并令其为零
求导并令其为零： \[ \frac{d\ell(p)}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{n-\sum x_i}{1-p} = 0 \]
步骤 4：解方程求得最大似然估计
解得： \[ p = \frac{\sum x_i}{n} = \overline{x} \] 因此，参数 $ p $ 的最大似然估计为： \[ \hat{p} = \overline{X} \]