题目
设相互独立，且都服从均值为0，方差为1的标准正态分布，证明也相互独立，且都服从均值为0，方差为1的标准正态分布。
设
相互独立，且都服从均值为0，方差为1的标准正态分布，证明
也相互独立，且都服从均值为0，方差为1的标准正态分布。
题目解答
答案
根据样本与样本之间的关系：样本与样本之间是独立同分布的；样本与总体之间的关系：样本与总体之间是遵循同样的分布的因此总体方差就等于样本方差即
根据期望的性质：
（和的期望等于期望的和），E(aX)=aE(X)（a为常数），所以
根据方差的性质：
（a为常数），
当X、Y相互独立时D(X+Y)=D(X)+D(Y)，所以
根据正态分布的性质：服从正态分布的随机变量的线性组合依然服从正态分布。所以
（标准正态分布）
根据样本与样本之间的关系：样本与样本之间是独立同分布的；样本与总体之间的关系：样本与总体之间是遵循同样的分布的因此总体方差就等于样本方差即
根据期望的性质：（和的期望等于期望的和），E(aX)=aE(X)（a为常数），所以
根据方差的性质：（a为常数），
当X、Y相互独立时D(X+Y)=D(X)+D(Y)，所以
根据正态分布的性质：服从正态分布的随机变量的线性组合依然服从正态分布。所以
（标准正态分布）
根据样本与样本之间的关系：样本与样本之间是独立同分布的；样本与总体之间的关系：样本与总体之间是遵循同样的分布的因此总体方差就等于样本方差即
根据期望的性质：（和的期望等于期望的和），E(aX)=aE(X)（a为常数），所以
根据方差的性质：（a为常数），
当X、Y相互独立时D(X+Y)=D(X)+D(Y)，所以
根据正态分布的性质：服从正态分布的随机变量的线性组合依然服从正态分布。所以
（标准正态分布）
解析
步骤 1：计算$Y_1$的期望和方差
由于$X_1$和$X_2$相互独立且都服从均值为0，方差为1的标准正态分布，根据期望和方差的性质，我们有：
$$E(Y_1) = E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(X_1 - X_2)\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(E(X_1) - E(X_2)) = \frac{1}{\sqrt{2}}(0 - 0) = 0$$
$$D(Y_1) = D\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(X_1 - X_2)\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2(D(X_1) + D(X_2)) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$$
步骤 2：计算$Y_2$的期望和方差
同理，我们有：
$$E(Y_2) = E\left(\frac{1}{\sqrt{6}}(X_1 + X_2 - 2X_3)\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}(E(X_1) + E(X_2) - 2E(X_3)) = \frac{1}{\sqrt{6}}(0 + 0 - 2 \cdot 0) = 0$$
$$D(Y_2) = D\left(\frac{1}{\sqrt{6}}(X_1 + X_2 - 2X_3)\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2(D(X_1) + D(X_2) + 4D(X_3)) = \frac{1}{6}(1 + 1 + 4) = 1$$
步骤 3：计算$Y_3$的期望和方差
同理，我们有：
$$E(Y_3) = E\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{\sqrt{3}}(0 + 0 + 0) = 0$$
$$D(Y_3) = D\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2(D(X_1) + D(X_2) + D(X_3)) = \frac{1}{3}(1 + 1 + 1) = 1$$
步骤 4：证明$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$相互独立
由于$X_1$，$X_2$，$X_3$相互独立，且$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$是$X_1$，$X_2$，$X_3$的线性组合，根据正态分布的性质，$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$也相互独立。
由于$X_1$和$X_2$相互独立且都服从均值为0，方差为1的标准正态分布，根据期望和方差的性质，我们有：
$$E(Y_1) = E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(X_1 - X_2)\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(E(X_1) - E(X_2)) = \frac{1}{\sqrt{2}}(0 - 0) = 0$$
$$D(Y_1) = D\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(X_1 - X_2)\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2(D(X_1) + D(X_2)) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$$
步骤 2：计算$Y_2$的期望和方差
同理，我们有：
$$E(Y_2) = E\left(\frac{1}{\sqrt{6}}(X_1 + X_2 - 2X_3)\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}(E(X_1) + E(X_2) - 2E(X_3)) = \frac{1}{\sqrt{6}}(0 + 0 - 2 \cdot 0) = 0$$
$$D(Y_2) = D\left(\frac{1}{\sqrt{6}}(X_1 + X_2 - 2X_3)\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2(D(X_1) + D(X_2) + 4D(X_3)) = \frac{1}{6}(1 + 1 + 4) = 1$$
步骤 3：计算$Y_3$的期望和方差
同理，我们有：
$$E(Y_3) = E\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{\sqrt{3}}(0 + 0 + 0) = 0$$
$$D(Y_3) = D\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2(D(X_1) + D(X_2) + D(X_3)) = \frac{1}{3}(1 + 1 + 1) = 1$$
步骤 4：证明$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$相互独立
由于$X_1$，$X_2$，$X_3$相互独立，且$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$是$X_1$，$X_2$，$X_3$的线性组合，根据正态分布的性质，$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$也相互独立。