题目
12.设随机变量X表示从数字1，2，3，4中任意选取的一个数字，随机变量Y表示从1，2，3，4中任意选取的不小于X的一个数字，求：(1) (X,Y)的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律；(3)协方差cov(X,Y)。
12.设随机变量X表示从数字1，2，3，4中任意选取的一个数字，随机变量Y表示从1，2，3，4中任意选取的不小于X的一个数字，求：(1) (X,Y)的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律；(3)协方差cov(X,Y)。
题目解答
答案
(1) **联合分布律**
\[
\begin{array}{c|cccc}
X \backslash Y & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
1 & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} \\
2 & 0 & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} \\
3 & 0 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\
4 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\
\end{array}
\]
(2) **边缘分布律**
- $X$：$\frac{1}{4}$（各取值概率相等）
- $Y$：$\frac{1}{16}, \frac{7}{48}, \frac{13}{48}, \frac{25}{48}$
(3) **协方差**
\[
\text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \frac{35}{4} - \frac{5}{2} \times \frac{13}{4} = \frac{5}{8} = 0.625
\]
\[
\boxed{\frac{5}{8}}
\]
解析
步骤 1：确定联合分布律
- 首先，确定随机变量X和Y的可能取值。X和Y的取值范围都是{1, 2, 3, 4}。
- 对于每个X的取值，Y的取值范围是不小于X的数字。例如，如果X=1，Y可以取1, 2, 3, 4；如果X=2，Y可以取2, 3, 4。
- 计算每个(X,Y)组合的概率。由于X和Y的选取是独立的，每个X的取值概率是1/4，每个Y的取值概率是1/4。但是，由于Y的取值范围受X的限制，需要调整概率。
- 对于每个(X,Y)组合，计算其概率。例如，P(X=1,Y=1)=1/16，P(X=1,Y=2)=1/16，P(X=1,Y=3)=1/16，P(X=1,Y=4)=1/16；P(X=2,Y=2)=1/12，P(X=2,Y=3)=1/12，P(X=2,Y=4)=1/12；P(X=3,Y=3)=1/8，P(X=3,Y=4)=1/8；P(X=4,Y=4)=1/4。
步骤 2：确定边缘分布律
- 对于X的边缘分布律，计算每个X取值的概率。由于X的取值范围是{1, 2, 3, 4}，每个X的取值概率是1/4。
- 对于Y的边缘分布律，计算每个Y取值的概率。例如，P(Y=1)=1/16，P(Y=2)=7/48，P(Y=3)=13/48，P(Y=4)=25/48。
步骤 3：计算协方差
- 计算E(XY)，E(X)，E(Y)。
- E(XY) = ΣΣx*y*P(X=x,Y=y) = 1*1*1/16 + 1*2*1/16 + ... + 4*4*1/4 = 35/4。
- E(X) = Σx*P(X=x) = 1*1/4 + 2*1/4 + 3*1/4 + 4*1/4 = 5/2。
- E(Y) = Σy*P(Y=y) = 1*1/16 + 2*7/48 + 3*13/48 + 4*25/48 = 13/4。
- 计算协方差cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 35/4 - 5/2 * 13/4 = 5/8。
- 首先，确定随机变量X和Y的可能取值。X和Y的取值范围都是{1, 2, 3, 4}。
- 对于每个X的取值，Y的取值范围是不小于X的数字。例如，如果X=1，Y可以取1, 2, 3, 4；如果X=2，Y可以取2, 3, 4。
- 计算每个(X,Y)组合的概率。由于X和Y的选取是独立的，每个X的取值概率是1/4，每个Y的取值概率是1/4。但是，由于Y的取值范围受X的限制，需要调整概率。
- 对于每个(X,Y)组合，计算其概率。例如，P(X=1,Y=1)=1/16，P(X=1,Y=2)=1/16，P(X=1,Y=3)=1/16，P(X=1,Y=4)=1/16；P(X=2,Y=2)=1/12，P(X=2,Y=3)=1/12，P(X=2,Y=4)=1/12；P(X=3,Y=3)=1/8，P(X=3,Y=4)=1/8；P(X=4,Y=4)=1/4。
步骤 2：确定边缘分布律
- 对于X的边缘分布律，计算每个X取值的概率。由于X的取值范围是{1, 2, 3, 4}，每个X的取值概率是1/4。
- 对于Y的边缘分布律，计算每个Y取值的概率。例如，P(Y=1)=1/16，P(Y=2)=7/48，P(Y=3)=13/48，P(Y=4)=25/48。
步骤 3：计算协方差
- 计算E(XY)，E(X)，E(Y)。
- E(XY) = ΣΣx*y*P(X=x,Y=y) = 1*1*1/16 + 1*2*1/16 + ... + 4*4*1/4 = 35/4。
- E(X) = Σx*P(X=x) = 1*1/4 + 2*1/4 + 3*1/4 + 4*1/4 = 5/2。
- E(Y) = Σy*P(Y=y) = 1*1/16 + 2*7/48 + 3*13/48 + 4*25/48 = 13/4。
- 计算协方差cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 35/4 - 5/2 * 13/4 = 5/8。