设函数 f(x) 在 [0,2] 上具有连续导数, f(0)=f(2)=0, M=max_(xin[0,2])|f(x)|, 证明:(1) 存在 xi in (0,2) 使得 |f'(xi)| geq M

我们来逐步分析并证明这个题目。

题目回顾

设函数 $ f(x) $ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且满足：

• $ f(0) = f(2) = 0 $
• $ M = \max_{x \in [0,2]} |f(x)| $

要证明：

(1) 存在 $ \xi \in (0,2) $，使得
$|f'(\xi)| \geq M$

解题思路

我们要证明：存在某个点 $ \xi \in (0,2) $，使得导数的绝对值不小于 $ M $，即 $ |f'(\xi)| \geq M $。

已知：

• $ f(0) = f(2) = 0 $，说明函数在端点为零。
• $ M $ 是 $ |f(x)| $ 在 $[0,2]$ 上的最大值。
• $ f $ 在 $[0,2]$ 上有连续导数，即 $ f' $ 存在且连续。

第一步：分析最大值点

由于 $ f $ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续（因为可导），所以 $ |f(x)| $ 在 $[0,2]$ 上能取到最大值 $ M $。

记：
$M = \max_{x \in [0,2]} |f(x)|$

如果 $ M = 0 $，那么 $ f(x) \equiv 0 $，于是 $ f'(x) \equiv 0 $，此时对任意 $ \xi \in (0,2) $，都有 $ |f'(\xi)| = 0 = M $，不等式 $ |f'(\xi)| \geq M $ 成立（取等）。

所以结论成立。

下面我们考虑 非平凡情况：$ M > 0 $

第二步：最大值在内部取得

因为 $ f(0) = f(2) = 0 $，而 $ M > 0 $，所以最大值 $ M $ 不可能在两个端点同时取得（除非 $ f \equiv 0 $，但我们已经排除了）。因此，存在某个点 $ c \in (0,2) $，使得
$|f(c)| = M > 0$

即函数在内部某点达到最大绝对值。

第三步：分两种情况讨论

由于是 $ |f(x)| $ 的最大值，我们分两种情况：

情况一：$ f(c) = M $

即函数在 $ c \in (0,2) $ 处取得正的最大值。

情况二：$ f(c) = -M $

即函数在 $ c \in (0,2) $ 处取得负的最小值（绝对值最大）。

由于两种情况对称，我们以情况一为例进行分析，情况二类似。

第四步：利用拉格朗日中值定理

我们考虑从 $ x=0 $ 到 $ x=c $，以及从 $ x=c $ 到 $ x=2 $ 两个区间。

在区间 $[0, c]$ 上：

$ f(0) = 0 $，$ f(c) = M $

由拉格朗日中值定理，存在 $ \xi_1 \in (0, c) $，使得
$f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(0)}{c - 0} = \frac{M}{c}$

所以
$|f'(\xi_1)| = \frac{M}{c}$

在区间 $[c, 2]$ 上：

$ f(c) = M $，$ f(2) = 0 $

由中值定理，存在 $ \xi_2 \in (c, 2) $，使得
$f'(\xi_2) = \frac{f(2) - f(c)}{2 - c} = \frac{-M}{2 - c}$

所以
$|f'(\xi_2)| = \frac{M}{2 - c}$

第五步：取两者中较大的导数

我们有两个点 $ \xi_1, \xi_2 \in (0,2) $，满足：

• $ |f'(\xi_1)| = \dfrac{M}{c} $
• $ |f'(\xi_2)| = \dfrac{M}{2 - c} $

我们考虑这两个值中至少有一个 $ \geq M $

即：是否至少有一个满足 $ \dfrac{M}{c} \geq M $ 或 $ \dfrac{M}{2 - c} \geq M $？

等价于：

• $ \dfrac{1}{c} \geq 1 $ 即 $ c \leq 1 $
• 或 $ \dfrac{1}{2 - c} \geq 1 $ 即 $ 2 - c \leq 1 $ 即 $ c \geq 1 $

注意：$ c \in (0,2) $

• 如果 $ c \leq 1 $，则 $ \dfrac{1}{c} \geq 1 $，所以 $ |f'(\xi_1)| = \dfrac{M}{c} \geq M $
• 如果 $ c \geq 1 $，则 $ \dfrac{1}{2 - c} \geq 1 $，所以 $ |f'(\xi_2)| = \dfrac{M}{2 - c} \geq M $

而 $ c \in (0,2) $，必然满足 $ c \leq 1 $ 或 $ c \geq 1 $，即对所有 $ c \in (0,2) $，至少有一个成立。

特别地，当 $ c = 1 $ 时，两个都等于 $ M $。

因此，无论 $ c \in (0,1] $ 还是 $ c \in [1,2) $，总存在 $ \xi \in (0,2) $，使得
$|f'(\xi)| \geq M$

对于情况二：$ f(c) = -M $

类似地，考虑：

• 在 $[0,c] $：$ f(0) = 0 $，$ f(c) = -M $，则存在 $ \xi_1 \in (0,c) $，使得
  $f'(\xi_1) = \frac{-M - 0}{c - 0} = -\frac{M}{c} \Rightarrow |f'(\xi_1)| = \frac{M}{c}$
• 在 $[c,2] $：$ f(c) = -M $，$ f(2) = 0 $，则
  $f'(\xi_2) = \frac{0 - (-M)}{2 - c} = \frac{M}{2 - c} \Rightarrow |f'(\xi_2)| = \frac{M}{2 - c}$

同样地，若 $ c \leq 1 $，则 $ |f'(\xi_1)| \geq M $；若 $ c \geq 1 $，则 $ |f'(\xi_2)| \geq M $

所以结论仍然成立。

结论

综上所述，无论 $ f(c) = M $ 还是 $ f(c) = -M $，只要 $ M > 0 $，总存在 $ \xi \in (0,2) $，使得
$|f'(\xi)| \geq M$

当 $ M = 0 $ 时，$ f \equiv 0 $，$ f' \equiv 0 $，所以 $ |f'(\xi)| = 0 = M $，也成立。

最终答案

$\boxed{\text{存在 } \xi \in (0,2) \text{ 使得 } |f'(\xi)| \geq M}$

证毕。