题目
假设只考虑天气的两种情况:有雨或无雨.若已知今天的天气情况,明天天气保持不变-|||-的概率为p,变的概率为 https:/img.cdnjtzy.com/zyb_28dc76806f9fff3242279cb674fcbef4.jpg-p. 设第一天无雨,试求第 (ngeqslant 2) 天也无雨的概率.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查马尔可夫链中的状态转移概率计算，以及递推关系的建立与求解。
解题核心思路：
- 状态定义：将天气分为“无雨”（状态S）和“有雨”（状态R），转移概率由题目给出。
- 递推关系：设第$n$天无雨的概率为$a_n$，通过分析前一天状态推导递推公式。
- 求解递推方程：将递推关系转化为线性非齐次方程，求出通解并代入初始条件$a_1=1$确定最终表达式。
破题关键点：
- 正确建立递推关系：第$n$天无雨的概率由前一天无雨保持或有雨转变两种情况组成。
- 识别递推方程类型：方程为线性非齐次，需通过齐次解与特解结合求解。
递推关系的建立
设第$n$天无雨的概率为$a_n$，则第$n$天有雨的概率为$1 - a_n$。根据转移规则：
- 若第$n-1$天无雨（概率$a_{n-1}$），则第$n$天保持无雨的概率为$p$。
- 若第$n-1$天有雨（概率$1 - a_{n-1}$），则第$n$天变为无雨的概率为$1 - p$。
因此，递推关系为：
$a_n = p \cdot a_{n-1} + (1 - p) \cdot (1 - a_{n-1})$
化简递推方程
展开并整理得：
$a_n = (2p - 1) \cdot a_{n-1} + (1 - p)$
求解递推方程
- 齐次方程解：对应方程为$a_n^{(h)} = C \cdot (2p - 1)^{n-1}$。
- 特解：假设特解为常数$k$，代入方程得$k = \frac{1}{2}$。
- 通解：齐次解与特解之和：
$a_n = C \cdot (2p - 1)^{n-1} + \frac{1}{2}$ - 确定常数$C$：利用初始条件$a_1 = 1$，得$C = \frac{1}{2}$。
最终解为：
$a_n = \frac{1}{2} \left[ 1 + (2p - 1)^{n-1} \right]$