题目
八、计算题（本大题8分）.设总体X的概率密度为f(x;theta)=}theta x^theta-1,&0<1;0,&其它.其中theta为未知参数，且theta>0.求theta的矩估计.
八、计算题（本大题8分）.
设总体X的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\theta x^{\theta-1},&0<1;\\0,&其它.\end{cases}$其中$\theta$为未知参数，且$\theta>0$.求$\theta$的矩估计.
题目解答
答案
总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}$（$0 < x < 1$），其中 $\theta > 0$。
计算期望值：
\[
E(X) = \int_0^1 x \theta x^{\theta-1} \, dx = \theta \int_0^1 x^{\theta} \, dx = \frac{\theta}{\theta+1}.
\]
令样本均值 $\overline{X}$ 等于期望值：
\[
\overline{X} = \frac{\theta}{\theta+1} \implies \theta = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}.
\]
因此，$\theta$ 的矩估计为：
\[
\boxed{\frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}}}.
\]