设 X_1, X_2, X_3 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 hat(mu)_1 = 0.4X_1 + 0.2X_2 + 0.4X_3，hat(mu)_2 = 0.5X_1 + 0.4X_3，hat(mu)_3 = (1)/(3)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(3)X_3 为总体期望 mu 的估计量，则下列叙述正确的是( )A. hat(mu)_1, hat(mu)_3 为无偏估计量，hat(mu)_1 是最有效的估计量B. hat(mu)_1, hat(mu)_3 为无偏估计量，hat(mu)_2 是最有效的估计量C. hat(mu)_1, hat(mu)_3 为无偏估计量，hat(mu)_3 是最有效的估计量D. hat(mu)_2 为无偏估计量，hat(mu)_3 是最有效的估计量

本题考查总体期望估计量的无偏性和有效性的判断。解题思路是先根据无偏估计量的定义判断各个估计量是否为无偏估计量，再根据有效性的定义，比较无偏估计量的方差大小，方差越小越有效。

1. 判断无偏估计量

若估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。
已知 $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，所以 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$。

• 对于 $\hat{\mu}_1 = 0.4X_1 + 0.2X_2 + 0.4X_3$：
  根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_1)&=E(0.4X_1 + 0.2X_2 + 0.4X_3)\\&=0.4E(X_1)+0.2E(X_2)+0.4E(X_3)\\&=0.4\mu + 0.2\mu + 0.4\mu\\&=(0.4 + 0.2 + 0.4)\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
• 对于 $\hat{\mu}_2 = 0.5X_1 + 0.4X_3$：
  同理可得：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_2)&=E(0.5X_1 + 0.4X_3)\\&=0.5E(X_1)+0.4E(X_3)\\&=0.5\mu + 0.4\mu\\&=(0.5 + 0.4)\mu\\&=0.9\mu\neq\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_2$ 不是 $\mu$ 的无偏估计量。
• 对于 $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_3)&=E(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3)\\&=\frac{1}{3}E(X_1)+\frac{1}{3}E(X_2)+\frac{1}{3}E(X_3)\\&=\frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu\\&=(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3})\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_3$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。

2. 判断有效性

在无偏估计量中，方差越小的估计量越有效。
已知 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，且 $D(X_1)=D(X_2)=D(X_3)=\sigma^2$。

• 对于 $\hat{\mu}_1 = 0.4X_1 + 0.2X_2 + 0.4X_3$：
  根据方差的性质 $D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（$X$，$Y$ 相互独立），可得：
  $\begin{align*}D(\hat{\mu}_1)&=D(0.4X_1 + 0.2X_2 + 0.4X_3)\\&=0.4^2D(X_1)+0.2^2D(X_2)+0.4^2D(X_3)\\&=0.16\sigma^2 + 0.04\sigma^2 + 0.16\sigma^2\\&=(0.16 + 0.04 + 0.16)\sigma^2\\&=0.36\sigma^2\end{align*}$
• 对于 $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$：
  $\begin{align*}D(\hat{\mu}_3)&=D(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3)\\&=(\frac{1}{3})^2D(X_1)+(\frac{1}{3})^2D(X_2)+(\frac{1}{3})^2D(X_3)\\&=\frac{1}{9}\sigma^2 + \frac{1}{9}\sigma^2 + \frac{1}{9}\sigma^2\\&=(\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9})\sigma^2\\&=\frac{1}{3}\sigma^2\approx0.33\sigma^2\end{align*}$
  因为 $0.33\sigma^2<0.36\sigma^2$，即 $D(\hat{\mu}_3)<D(\hat{\mu}_1)$，所以在无偏估计量 $\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_3$ 中，$\hat{\mu}_3$ 更有效。