【题型三】矩阵方程【例2.9】设矩阵A=(}1&-1&3&0&-1-1&0&-2&-a&-11&1&a&2&3)的秩为2.（1）求a的值；（2）求A的列向量组的一个极大线性无关组alpha,beta，并求矩阵H，使得A=GH，其中G=（α，β）

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、行阶梯形变换、极大线性无关组的求解以及矩阵分解。

解题思路：

1. 求参数a：通过行变换将矩阵化为阶梯形，根据秩为2的条件，确定第三行全为零时的a值。
2. 求极大线性无关组：代入a的值后，确定主元所在列，选取对应的列向量作为极大无关组。
3. 构造矩阵H：将A的各列表示为G的线性组合，系数构成H的列。

关键点：

• 秩与行阶梯形的关系：非零行数即矩阵的秩。
• 极大线性无关组的判定：主元所在列对应的原矩阵列向量。
• 矩阵分解：通过线性组合系数构造H。

第（1）题

对矩阵A进行行变换

原矩阵：
$A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\-1 & 0 & -2 & -a & -1 \\1 & 1 & a & 2 & 3\end{pmatrix}$

1. 第一行化简：第一行保持为基准行。
2. 消去第二行第一个元素：第二行加第一行：
   $R2' = R2 + R1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -a & -2 \end{pmatrix}$
3. 消去第三行第一个元素：第三行减第一行：
   $R3' = R3 - R1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 2 & a-3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$
4. 消去第三行第二个元素：第三行加2倍第二行：
   $R3'' = R3' + 2R2' \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & a-1 & 2-2a & 0 \end{pmatrix}$

确定秩为2的条件

第三行全为零：
$\begin{cases}a - 1 = 0 \\2 - 2a = 0\end{cases} \Rightarrow a = 1$

第（2）题

代入a=1化简矩阵

化简后的矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

确定极大线性无关组

主元在第1、2列，对应原矩阵的第1、2列：
$\alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

构造矩阵H

将A的每列表示为$\alpha$和$\beta$的线性组合：

• 第1列：$\alpha = 1\alpha + 0\beta$，对应H第1列为$(1, 0)^T$
• 第2列：$\beta = 0\alpha + 1\beta$，对应H第2列为$(0, 1)^T$
• 第3列：$3\alpha -1\beta$，对应H第3列为$(3, -1)^T$
• 第4列：$0\alpha +1\beta$，对应H第4列为$(0, 1)^T$
• 第5列：$-1\alpha +2\beta$，对应H第5列为$(-1, 2)^T$

最终矩阵H为：
$H = \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 & -1 \\0 & 1 & -1 & 1 & 2\end{pmatrix}$