29.单选题 f(z)=overline(z)在z=0处（）. A (A.)解析; B (B.)可导; C (C.)不连续; D (D.)连续.

考查要点：本题主要考查复变函数中函数在某一点的连续性、可导性及解析性的判断，重点在于理解共轭函数的性质及其与柯西-黎曼方程的关系。

解题核心思路：

1. 连续性：共轭函数在复平面上处处连续。
2. 可导性：通过计算导数的极限或验证柯西-黎曼方程是否成立，判断函数在该点是否可导。
3. 解析性：若函数在某点可导，则进一步判断其在邻域内是否可导，从而确定是否解析。

破题关键点：

• 共轭函数的特性：$f(z)=\overline{z}$的实部和虚部分别为$u(x,y)=x$，$v(x,y)=-y$。
• 柯西-黎曼方程：验证$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$是否成立。
• 导数的极限：通过不同路径趋近于$z=0$，判断导数是否存在。

连续性分析

对于任意复数$z_0$，有：
$\lim_{z \to z_0} \overline{z} = \overline{z_0}$
因此，$f(z)=\overline{z}$在$z=0$处连续，排除选项C。

可导性分析

计算导数的极限：
$f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(0+\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$
设$\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，则：
$\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \frac{\Delta x - i\Delta y}{\Delta x + i\Delta y} = \frac{(\Delta x - i\Delta y)^2}{\Delta x^2 + \Delta y^2}$

• 沿实轴趋近（$\Delta y=0$）：极限为$\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。
• 沿虚轴趋近（$\Delta x=0$）：极限为$\frac{-i\Delta y}{i\Delta y}=-1$。

由于极限值与路径相关，导数不存在，故$f(z)$在$z=0$处不可导，排除选项B。

解析性分析

函数$f(z)=\overline{z}$在复平面内处处不可导（柯西-黎曼方程不成立），因此在$z=0$处不解析，排除选项A。