题目

(单选题，2分)不定积分int cosxdx等于()。A sinx+CB -sinx+CC cosx+CD -cosx+C

(单选题，2分)不定积分$\int cosxdx$等于()。 A sinx+C B -sinx+C C cosx+C D -cosx+C

题目解答

答案

根据不定积分的定义，$\int \cos x \, dx$ 表示求 $\cos x$ 的原函数。已知 $(\sin x)' = \cos x$，因此 $\sin x$ 是 $\cos x$ 的一个原函数。根据不定积分的性质，结果应为 $\sin x + C$，其中 $C$ 是任意常数。 选项分析： - A. $\sin x + C$：符合上述推导，正确。 - B. $-\sin x + C$：错误，因为 $(-\sin x)' = -\cos x$。 - C. $\cos x + C$：错误，因为 $(\cos x)' = -\sin x$。 - D. $-\cos x + C$：错误，因为 $(-\cos x)' = \sin x$。 综上，正确答案是 A。 答案：A. $\sin x + C$

解析

本题考查不定积分的基本计算，核心在于识别被积函数的原函数。关键点如下：

  1. 原函数的定义：若$F'(x) = f(x)$，则$F(x)$是$f(x)$的原函数。
  2. 基本积分公式：$\int \cos x \, dx$的直接结果需结合导数公式逆推。
  3. 不定积分的性质：结果需包含任意常数$C$。

步骤解析

  1. 确定原函数
    根据导数公式$(\sin x)' = \cos x$，可知$\sin x$是$\cos x$的一个原函数。

  2. 补全不定积分形式
    不定积分的结果需包含任意常数$C$，因此$\int \cos x \, dx = \sin x + C$。

  3. 排除错误选项

    • 选项B：$-\sin x + C$的导数为$-\cos x$，与被积函数$\cos x$不符。
    • 选项C：$\cos x + C$的导数为$-\sin x$，不符。
    • 选项D：$-\cos x + C$的导数为$\sin x$，不符。
    • 选项A：$\sin x + C$的导数为$\cos x$，完全匹配。