题目
（X1，X2，X3，X4）是来自总体N（0，22）的样本，X=a（X1-2X2）2+b（X3+X4）2，则a,b取以下哪组数时，统计量X服从χ_(2)^2（ ）A. a=(1)/(20)，b=(1)/(2sqrt(2))B. a=(1)/(2sqrt(5))，b=(1)/(8)C. a=(1)/(2sqrt(5))，b=(1)/(2sqrt(2))D. a=(1)/(20)，b=(1)/(8)
（X1，X2，X3，X4）是来自总体N（0，22）的样本，X=a（X1-2X2）2+b（X3+X4）2，则a,b取以下哪组数时，统计量X服从$χ_{2}^{2}$（ ）
A. a=$\frac{1}{20}$，b=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$
B. a=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$，b=$\frac{1}{8}$
C. a=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$，b=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$
D. a=$\frac{1}{20}$，b=$\frac{1}{8}$
题目解答
答案
D. a=$\frac{1}{20}$，b=$\frac{1}{8}$
解析
步骤 1：计算X_1-2X_2的期望和方差
由于X_1和X_2都是来自总体N（0，2^{2}）的样本，所以E（X_1）=0，E（X_2）=0，D（X_1）=4，D（X_2）=4。因此，E（X_1-2X_2）=E（X_1）-2E（X_2）=0，D（X_1-2X_2）=D（X_1）+4D（X_2）=4+16=20。
步骤 2：计算X_3+X_4的期望和方差
同样地，E（X_3）=0，E（X_4）=0，D（X_3）=4，D（X_4）=4。因此，E（X_3+X_4）=E（X_3）+E（X_4）=0，D（X_3+X_4）=D（X_3）+D（X_4）=4+4=8。
步骤 3：标准化X_1-2X_2和X_3+X_4
由标准化公式得，$\frac{1}{\sqrt{20}}$（X_1-2X_2）～N（0，1），$\frac{1}{\sqrt{8}}$（X_3+X_4）～N（0，1）。
步骤 4：确定a和b的值
要使统计量X服从$χ_{2}^{2}$，则需要a（X_1-2X_2）^{2}和b（X_3+X_4）^{2}分别服从$χ_{1}^{2}$。因此，a=$\frac{1}{20}$，b=$\frac{1}{8}$。
由于X_1和X_2都是来自总体N（0，2^{2}）的样本，所以E（X_1）=0，E（X_2）=0，D（X_1）=4，D（X_2）=4。因此，E（X_1-2X_2）=E（X_1）-2E（X_2）=0，D（X_1-2X_2）=D（X_1）+4D（X_2）=4+16=20。
步骤 2：计算X_3+X_4的期望和方差
同样地，E（X_3）=0，E（X_4）=0，D（X_3）=4，D（X_4）=4。因此，E（X_3+X_4）=E（X_3）+E（X_4）=0，D（X_3+X_4）=D（X_3）+D（X_4）=4+4=8。
步骤 3：标准化X_1-2X_2和X_3+X_4
由标准化公式得，$\frac{1}{\sqrt{20}}$（X_1-2X_2）～N（0，1），$\frac{1}{\sqrt{8}}$（X_3+X_4）～N（0，1）。
步骤 4：确定a和b的值
要使统计量X服从$χ_{2}^{2}$，则需要a（X_1-2X_2）^{2}和b（X_3+X_4）^{2}分别服从$χ_{1}^{2}$。因此，a=$\frac{1}{20}$，b=$\frac{1}{8}$。