设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)为取自总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的样本,_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)为样本均值,_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n),则服从自由度为_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)分布的统计量为( )A. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n) B. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n) C. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n) D. _(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)

本题考查统计量的分布，核心在于识别符合自由度为$n-1$的$t$分布的统计量。关键点如下：

1. 样本均值的正态性：$\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/\sigma \sim N(0,1)$；
2. 样本方差的卡方分布：$(n-1)S_n^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$；
3. 独立性：样本均值与样本方差独立；
4. $t$分布构造：标准正态分布除以$\sqrt{\chi^2/(n-1)}$，结果服从$t(n-1)$。

关键步骤分析

1. 标准化正态部分：$\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/\sigma$服从标准正态分布；
2. 样本方差调整：题目中$S_n^2 = \frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X})^2$，而无偏样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i-\overline{X})^2$，故$S_n^2 = \frac{n-1}{n} S^2$；
3. 构造$t$统计量：将标准化正态部分除以$\sqrt{S_n^2/(n-1)}$，即：
   $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)/\sigma}{\sqrt{S_n^2/(n-1)}} = \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S_n} \cdot \sqrt{\frac{n-1}{n}} = \frac{\sqrt{n-1}(\overline{X}-\mu)}{S_n}.$

选项验证

• 选项D：$\frac{\sqrt{n-1}(\overline{X}-\mu)}{S_n}$符合上述推导，服从$t(n-1)$分布。