随机变量X~N (3, 4), (1) 求 P(2<X≤5) , P(- 4<X≤10), P(|X|>2),P(X>3);(2)确定c,使得 P(X>c) = P(X<c)。

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及对称性应用，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用，以及利用对称性确定特定概率对应的分位数。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将非标准正态分布的变量X转换为标准正态变量Z，利用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
2. 分段概率计算：根据不等式范围拆分概率，结合标准正态分布表查值。
3. 对称性应用：利用正态分布的对称性简化计算，如绝对值概率的拆分、中位数性质等。

破题关键点：

• 参数确认：明确正态分布参数 $\mu = 3$，$\sigma = 2$（因方差 $\sigma^2 = 4$）。
• 标准化操作：正确代入公式计算Z值。
• 分位数对称性：第二问中，利用正态分布的对称性直接确定中位数。

第（1）题

P(2 < X ≤ 5)

1. 标准化：
   • $Z_1 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，对应 $\Phi(-0.5) = 0.3085$
   • $Z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$，对应 $\Phi(1) = 0.8413$
2. 计算概率：
   $P(2 < X \leq 5) = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$

P(-4 < X ≤ 10)

1. 标准化：
   • $Z_1 = \frac{-4 - 3}{2} = -3.5$，对应 $\Phi(-3.5) \approx 0$
   • $Z_2 = \frac{10 - 3}{2} = 3.5$，对应 $\Phi(3.5) \approx 1$
2. 计算概率：
   $P(-4 < X \leq 10) = \Phi(3.5) - \Phi(-3.5) \approx 1 - 0 = 1$

P(|X| > 2)

1. 拆分绝对值：
   $P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2)$
2. 标准化：
   • $Z_1 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，对应 $\Phi(-0.5) = 0.3085$，故 $P(X > 2) = 1 - 0.3085 = 0.6915$
   • $Z_2 = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$，对应 $\Phi(-2.5) = 0.0062$
3. 计算概率：
   $P(|X| > 2) = 0.6915 + 0.0062 = 0.6977$

P(X > 3)

1. 对称性：
   $P(X > 3) = 0.5$

第（2）题

1. 对称性分析：
   要求 $P(X > c) = P(X < c)$，即 $c$ 是分布的中位数。
   正态分布的中位数等于均值，故 $c = \mu = 3$。