25.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明: 到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 乘地铁的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的 概率.

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与计算。需要根据已知的到家时间区间，结合交通工具选择的概率，计算后验概率。

解题核心思路：

1. 确定事件关系：设事件A为“5:47到家”，事件B为“乘地铁回家”。
2. 计算全概率：利用全概率公式计算P(A)，即所有可能交通工具下到家时间属于该区间的概率之和。
3. 计算联合概率：确定选择地铁且到家时间在该区间的联合概率P(AB)。
4. 应用条件概率公式：通过P(B|A) = P(AB)/P(A)得到最终结果。

破题关键点：

• 正确识别到家时间对应的区间概率：5:47属于“5:45~5:49”区间，地铁概率0.45，汽车概率0.20。
• 交通工具选择的先验概率：抛硬币决定，地铁和汽车概率均为1/2。

步骤1：定义事件与概率

• 事件A：5:47到家。
• 事件B：乘地铁回家。
• 交通工具选择概率：P(B) = P(汽车) = $\frac{1}{2}$。

步骤2：计算全概率P(A)

到家时间在“5:45~5:49”区间的概率：

• 地铁情况：$P(A|B) = 0.45$。
• 汽车情况：$P(A|\text{汽车}) = 0.20$。

根据全概率公式：
$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\text{汽车}) \cdot P(A|\text{汽车}) = \frac{1}{2} \cdot 0.45 + \frac{1}{2} \cdot 0.20 = 0.325.$

步骤3：计算联合概率P(AB)

选择地铁且到家时间在该区间的联合概率：
$P(AB) = P(B) \cdot P(A|B) = \frac{1}{2} \cdot 0.45 = 0.225.$

步骤4：应用条件概率公式

$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0.225}{0.325} = \frac{9}{13}.$