题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，(X_1, X_2, ... X_n) 为来自总体 X 的简单随机样本，overline(X), S^2 分别是样本均值和样本方差，则下列结论不正确的是（）A. overline(X) sim N(mu, (sigma^2)/(n))B. (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n)) sim N(0, 1)C. (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n)) sim t(n-1)D. (overline(X) - mu)/(S / sqrt(n)) sim t(n-1)
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$(X_1, X_2, \cdots X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\overline{X}, S^2$ 分别是样本均值和样本方差，则下列结论不正确的是（）
A. $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
B. $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
C. $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$
D. $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$
题目解答
答案
C. $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$
解析
步骤 1：分析选项A
$\overline{X}$ 是样本均值，对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 的分布也是正态的，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。因此，$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ 是正确的。
步骤 2：分析选项B
将样本均值 $\overline{X}$ 标准化，通过减去均值 $\mu$ 并除以标准差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，结果是一个标准正态随机变量。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ 是正确的。
步骤 3：分析选项C
表达式 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 跟随标准正态分布，而不是 t 分布。t 分布在用样本标准差 $S$ 而不是总体标准差 $\sigma$ 标准化时出现。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ 是不正确的。
步骤 4：分析选项D
将样本均值 $\overline{X}$ 标准化，通过减去均值 $\mu$ 并除以样本标准差 $S$ 除以 $\sqrt{n}$，结果是一个自由度为 $n-1$ 的 t 随机变量。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ 是正确的。
$\overline{X}$ 是样本均值，对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 的分布也是正态的，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。因此，$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ 是正确的。
步骤 2：分析选项B
将样本均值 $\overline{X}$ 标准化，通过减去均值 $\mu$ 并除以标准差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，结果是一个标准正态随机变量。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ 是正确的。
步骤 3：分析选项C
表达式 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 跟随标准正态分布，而不是 t 分布。t 分布在用样本标准差 $S$ 而不是总体标准差 $\sigma$ 标准化时出现。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ 是不正确的。
步骤 4：分析选项D
将样本均值 $\overline{X}$ 标准化，通过减去均值 $\mu$ 并除以样本标准差 $S$ 除以 $\sqrt{n}$，结果是一个自由度为 $n-1$ 的 t 随机变量。因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ 是正确的。