40.（判断题 2.0分）设方程x=y+arctan y，则y''=(2y(1+y^2))/((2+y^2))^(2)。()A. 对B. 错

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是先对给定方程关于$x$求一阶导数，得出$y'$的表达式，再对$y'$关于$x$求导，从而得到$y''$的表达式，最后与题目所给的$y''$表达式进行对比判断对错。

步骤一：求一阶导数$y'$

已知方程$x = y + \arctan y$，等式两边同时对$x$求导。
根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，可得：
$\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(\arctan y)$
因为$\frac{d}{dx}(x)=1$，$\frac{d}{dx}(y)=y'$，根据复合函数求导法则$\frac{d}{dx}(\arctan y)=\frac{1}{1 + y^{2}}\cdot y'$，则有：
$1 = y' + \frac{1}{1 + y^{2}}\cdot y'$
提取公因式$y'$可得：
$1 = y'(1 + \frac{1}{1 + y^{2}})$
对括号内通分：
$1 = y'(\frac{1 + y^{2}+1}{1 + y^{2}})=y'\frac{2 + y^{2}}{1 + y^{2}}$
求解$y'$：
$y' = \frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}}$

步骤二：求二阶导数$y''$

根据商的求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对$y' = \frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}}$求导，其中$u = 1 + y^{2}$，$v = 2 + y^{2}$。
先分别求$u^\prime$和$v^\prime$：
$u^\prime=\frac{d}{dx}(1 + y^{2}) = 2y\cdot y'$
$v^\prime=\frac{d}{dx}(2 + y^{2}) = 2y\cdot y'$
将$u$、$v$、$u^\prime$、$v^\prime$代入商的求导法则可得：
$y'' = \frac{(2y\cdot y')(2 + y^{2}) - (1 + y^{2})(2y\cdot y')}{(2 + y^{2})^{2}}$
提取公因式$2y\cdot y'$可得：
$y'' = \frac{2y\cdot y'[(2 + y^{2}) - (1 + y^{2})]}{(2 + y^{2})^{2}}$
去括号化简：
$y'' = \frac{2y\cdot y'(2 + y^{2} - 1 - y^{2})}{(2 + y^{2})^{2}}=\frac{2y\cdot y'}{(2 + y^{2})^{2}}$
将$y' = \frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}}$代入上式可得：
$y'' = \frac{2y\cdot\frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}}}{(2 + y^{2})^{2}}=\frac{2y(1 + y^{2})}{(2 + y^{2})^{3}}$

步骤三：判断对错

因为求得的$y'' = \frac{2y(1 + y^{2})}{(2 + y^{2})^{3}}$与题目所给的$y''=\frac{2y(1+y^{2})}{(2+y^{2})^{2}}$不相等，所以该判断题答案为错。