题目
3【填空题】求出指数总体E(lambda)的参数lambda的矩估计量。
3【填空题】求出指数总体E($\lambda$)的参数$\lambda$的矩估计量。
题目解答
答案
为了求出指数总体 $ E(\lambda) $ 的参数 $ \lambda $ 的矩估计量，我们需要使用矩估计法。矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。对于指数分布 $ E(\lambda) $，总体的期望（一阶原点矩）为 $ \frac{1}{\lambda} $。
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自指数总体 $ E(\lambda) $ 的一个样本。样本的期望（一阶原点矩）为样本均值 $ \bar{X} $，即
\[
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
根据矩估计法，我们用样本均值 $ \bar{X} $ 来估计总体期望 $ \frac{1}{\lambda} $。因此，我们有
\[
\bar{X} \approx \frac{1}{\lambda}
\]
为了求出 $ \lambda $ 的估计量，我们解这个方程，得到
\[
\lambda \approx \frac{1}{\bar{X}}
\]
Thus, the $\lambda$ is:
\[
\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}
\]
所以，指数总体 $ E(\lambda) $ 的参数 $ \lambda $ 的矩估计量是
\[
\boxed{\frac{1}{\bar{X}}}
\]
解析
步骤 1：确定总体的期望
指数分布 $E(\lambda)$ 的期望（一阶原点矩）为 $ \frac{1}{\lambda} $。
步骤 2：计算样本均值
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自指数总体 $ E(\lambda) $ 的一个样本。样本的期望（一阶原点矩）为样本均值 $ \bar{X} $，即 \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
步骤 3：使用矩估计法
根据矩估计法，我们用样本均值 $ \bar{X} $ 来估计总体期望 $ \frac{1}{\lambda} $。因此，我们有 \[ \bar{X} \approx \frac{1}{\lambda} \] 为了求出 $ \lambda $ 的估计量，我们解这个方程，得到 \[ \lambda \approx \frac{1}{\bar{X}} \]
指数分布 $E(\lambda)$ 的期望（一阶原点矩）为 $ \frac{1}{\lambda} $。
步骤 2：计算样本均值
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自指数总体 $ E(\lambda) $ 的一个样本。样本的期望（一阶原点矩）为样本均值 $ \bar{X} $，即 \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
步骤 3：使用矩估计法
根据矩估计法，我们用样本均值 $ \bar{X} $ 来估计总体期望 $ \frac{1}{\lambda} $。因此，我们有 \[ \bar{X} \approx \frac{1}{\lambda} \] 为了求出 $ \lambda $ 的估计量，我们解这个方程，得到 \[ \lambda \approx \frac{1}{\bar{X}} \]