题目
12.填空题若随机变量X~U(1,5)，则D(3X+1)=_____.
12.填空题
若随机变量X~U(1,5)，则D(3X+1)=_____.
题目解答
答案
要解决这个问题，我们需要计算随机变量 $3X + 1$ 的方差 $D(3X + 1)$。首先，我们需要知道随机变量 $X$ 的方差 $D(X)$，然后利用方差的性质来求解 $D(3X + 1)$。
1. **计算 $X$ 的方差 $D(X)$:**
随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(1, 5)$。均匀分布 $U(a, b)$ 的方差公式为:
\[
D(X) = \frac{(b - a)^2}{12}
\]
这里， $a = 1$ 和 $b = 5$，代入公式得:
\[
D(X) = \frac{(5 - 1)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}
\]
2. **利用方差的性质计算 $D(3X + 1)$:**
方差的性质之一是:对于任意常数 $a$ 和 $b$，随机变量 $aX + b$ 的方差为:
\[
D(aX + b) = a^2 D(X)
\]
在这个问题中， $a = 3$ 和 $b = 1$，代入公式得:
\[
D(3X + 1) = 3^2 D(X) = 9 D(X) = 9 \times \frac{4}{3} = 12
\]
因此， $D(3X + 1)$ 的值为 $\boxed{12}$。
解析
步骤 1：计算 $X$ 的方差 $D(X)$
随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(1, 5)$。均匀分布 $U(a, b)$ 的方差公式为:
\[ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \]
这里， $a = 1$ 和 $b = 5$，代入公式得:
\[ D(X) = \frac{(5 - 1)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]
步骤 2：利用方差的性质计算 $D(3X + 1)$
方差的性质之一是:对于任意常数 $a$ 和 $b$，随机变量 $aX + b$ 的方差为:
\[ D(aX + b) = a^2 D(X) \]
在这个问题中， $a = 3$ 和 $b = 1$，代入公式得:
\[ D(3X + 1) = 3^2 D(X) = 9 D(X) = 9 \times \frac{4}{3} = 12 \]
随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(1, 5)$。均匀分布 $U(a, b)$ 的方差公式为:
\[ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \]
这里， $a = 1$ 和 $b = 5$，代入公式得:
\[ D(X) = \frac{(5 - 1)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]
步骤 2：利用方差的性质计算 $D(3X + 1)$
方差的性质之一是:对于任意常数 $a$ 和 $b$，随机变量 $aX + b$ 的方差为:
\[ D(aX + b) = a^2 D(X) \]
在这个问题中， $a = 3$ 和 $b = 1$，代入公式得:
\[ D(3X + 1) = 3^2 D(X) = 9 D(X) = 9 \times \frac{4}{3} = 12 \]