设X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自二项分布总体b(100,0.5)的简单随机样本，overline(X)和S^2分别为样本均值和样本方差，记统计量T=overline(X)-S^2，则E(T)=[填空1]
题目解答
答案
设 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 为来自二项分布 $ b(100, 0.5) $ 的简单随机样本，其中 $ E(X_i) = np = 50 $，$ D(X_i) = np(1-p) = 25 $。
样本均值 $ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $，其期望为：
$E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = 50$
样本方差 $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $，其期望等于总体方差：
$E(S^2) = D(X_i) = 25$
统计量 $ T = \overline{X} - S^2 $，其期望为：
$E(T) = E(\overline{X}) - E(S^2) = 50 - 25 = 25$
答案： $\boxed{25}$
解析
考查要点：本题主要考查二项分布的期望与方差、样本均值和样本方差的期望性质，以及线性组合的期望计算。
解题核心思路：
- 确定单个样本的期望与方差：根据二项分布的参数，直接计算每个样本的期望和方差。
- 样本均值的期望：利用样本均值的无偏性，直接得出其期望等于总体均值。
- 样本方差的期望：明确样本方差的无偏性，其期望等于总体方差。
- 线性组合的期望：将统计量分解为样本均值和样本方差的线性组合，分别计算期望后相减。
破题关键点：
- 二项分布的期望与方差公式：$E(X_i) = np$，$D(X_i) = np(1-p)$。
- 样本均值的无偏性：$E(\overline{X}) = E(X_i)$。
- 样本方差的无偏性：$E(S^2) = D(X_i)$。
步骤1：计算单个样本的期望与方差
对于二项分布$b(100, 0.5)$，每个样本$X_i$的期望和方差为：
$E(X_i) = 100 \times 0.5 = 50, \quad D(X_i) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25.$
步骤2：计算样本均值的期望
样本均值$\overline{X}$的期望为：
$E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \times n \times 50 = 50.$
步骤3：计算样本方差的期望
样本方差$S^2$的定义为：
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2.$
由于$S^2$是总体方差的无偏估计，故：
$E(S^2) = D(X_i) = 25.$
步骤4：计算统计量$T$的期望
统计量$T = \overline{X} - S^2$的期望为：
$E(T) = E(\overline{X}) - E(S^2) = 50 - 25 = 25.$