题目
2.求由下列各组曲线所围成的图形的面积:-|||-(1) =dfrac (1)(2)(x)^2 与 ^2+(y)^2=8 (两部分都要计算);
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要确定曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 的交点。将 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 中，得到：
${x}^{2}+\left(\dfrac {1}{2}{x}^{2}\right)^{2}=8$
${x}^{2}+\dfrac {1}{4}{x}^{4}=8$
$\dfrac {1}{4}{x}^{4}+{x}^{2}-8=0$
令 $u={x}^{2}$，则方程变为：
$\dfrac {1}{4}u^{2}+u-8=0$
解这个二次方程，得到：
$u^{2}+4u-32=0$
$(u+8)(u-4)=0$
$u=-8$ 或 $u=4$
由于 $u={x}^{2}$，所以 $u=-8$ 不是实数解，因此 $u=4$，即 ${x}^{2}=4$，得到 $x=\pm2$。将 $x=\pm2$ 代入 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 中，得到 $y=2$。因此，交点为 $(2,2)$ 和 $(-2,2)$。
步骤 2：计算图形D1的面积
图形D1是曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 在 $x$ 轴上方的部分。取 $x$ 为积分变量，$x$ 的变化范围为 $[-2,2]$。对于 $[-2,2]$ 上的任一小区间 $[x,x+dx]$，窄条面积近似于高为 $\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$、底为 $dx$ 的窄矩形的面积，因此有：
${A}_{1}=2\int_{0}^{2}\left(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}\right)dx$
$=2\left[\int_{0}^{2}\sqrt {8-{x}^{2}}dx-\int_{0}^{2}\dfrac {1}{2}{x}^{2}dx\right]$
$=2\left[\dfrac {1}{2}\pi(2\sqrt {2})^{2}-\dfrac {1}{6}(2)^{3}\right]$
$=2\left[2\pi-\dfrac {4}{3}\right]$
$=4\pi-\dfrac {8}{3}$
步骤 3：计算图形D2的面积
图形D2是曲线 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 在 $x$ 轴上方的部分，减去图形D1的面积。因此，图形D2的面积为：
${A}_{2}=\pi(2\sqrt {2})^{2}-{A}_{1}$
$=8\pi-(4\pi-\dfrac {8}{3})$
$=4\pi+\dfrac {8}{3}$
首先，我们需要确定曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 的交点。将 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 中，得到：
${x}^{2}+\left(\dfrac {1}{2}{x}^{2}\right)^{2}=8$
${x}^{2}+\dfrac {1}{4}{x}^{4}=8$
$\dfrac {1}{4}{x}^{4}+{x}^{2}-8=0$
令 $u={x}^{2}$，则方程变为：
$\dfrac {1}{4}u^{2}+u-8=0$
解这个二次方程，得到：
$u^{2}+4u-32=0$
$(u+8)(u-4)=0$
$u=-8$ 或 $u=4$
由于 $u={x}^{2}$，所以 $u=-8$ 不是实数解，因此 $u=4$，即 ${x}^{2}=4$，得到 $x=\pm2$。将 $x=\pm2$ 代入 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 中，得到 $y=2$。因此，交点为 $(2,2)$ 和 $(-2,2)$。
步骤 2：计算图形D1的面积
图形D1是曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 在 $x$ 轴上方的部分。取 $x$ 为积分变量，$x$ 的变化范围为 $[-2,2]$。对于 $[-2,2]$ 上的任一小区间 $[x,x+dx]$，窄条面积近似于高为 $\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$、底为 $dx$ 的窄矩形的面积，因此有：
${A}_{1}=2\int_{0}^{2}\left(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}\right)dx$
$=2\left[\int_{0}^{2}\sqrt {8-{x}^{2}}dx-\int_{0}^{2}\dfrac {1}{2}{x}^{2}dx\right]$
$=2\left[\dfrac {1}{2}\pi(2\sqrt {2})^{2}-\dfrac {1}{6}(2)^{3}\right]$
$=2\left[2\pi-\dfrac {4}{3}\right]$
$=4\pi-\dfrac {8}{3}$
步骤 3：计算图形D2的面积
图形D2是曲线 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$ 在 $x$ 轴上方的部分，减去图形D1的面积。因此，图形D2的面积为：
${A}_{2}=\pi(2\sqrt {2})^{2}-{A}_{1}$
$=8\pi-(4\pi-\dfrac {8}{3})$
$=4\pi+\dfrac {8}{3}$