4、(15分)设X_(1),X_(2),...,X_(16)是来自正态总体N(mu,1)的样本，得样本均值为overline(x)=5.20，求mu的置信水平为0.95的置信区间.(u_(0.025)=1.96)

考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间估计，重点在于理解并应用已知方差时的置信区间公式。

解题核心思路：

1. 确定分布类型：由于总体方差已知，且样本来自正态分布，因此使用标准正态分布（Z分布）构造置信区间。
2. 计算标准误差：标准误差为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\sigma=1$，$n=16$。
3. 代入置信区间公式：利用样本均值、临界值和标准误差，计算区间上下限。

破题关键点：

• 正确选择分位数：置信水平为0.95对应双侧分位数 $Z_{0.025}=1.96$。
• 公式应用无误：确保公式 $\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 中的参数代入正确。

已知条件：

• 总体 $X \sim N(\mu, 1)$，即 $\sigma=1$
• 样本均值 $\overline{X}=5.20$
• 样本量 $n=16$
• 置信水平 $1-\alpha=0.95$，对应 $\alpha=0.05$
• 标准正态分布双侧分位数 $Z_{0.025}=1.96$

步骤解析：

1. 计算标准误差：
   $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$
2. 计算边际误差：
   $Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.25 = 0.49$
3. 构造置信区间：
   $\overline{X} \pm 0.49 \implies (5.20 - 0.49, 5.20 + 0.49) = (4.71, 5.69)$