题目

8.必答[填空题]设随机变量X~N(1,3),Y~N(2,4),X与Y相互独立,则X+Y~_.第1空：

8.必答[填空题] 设随机变量X~N(1,3),Y~N(2,4),X与Y相互独立,则X+Y~_. 第1空：

题目解答

答案

要确定随机变量 $X + Y$ 的分布，其中 $X \sim N(1, 3)$ 和 $Y \sim N(2, 4)$，并且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们需要使用正态分布的性质。具体来说，两个独立的正态随机变量的和也是一个正态随机变量，其均值是两个随机变量均值的和，其方差是两个随机变量方差的和。 以下是解题步骤： 1. 确定 $X$ 的均值和方差： - $X$ 的均值是 $\mu_X = 1$。 - $X$ 的方差是 $\sigma_X^2 = 3$。 2. 确定 $Y$ 的均值和方差： - $Y$ 的均值是 $\mu_Y = 2$。 - $Y$ 的方差是 $\sigma_Y^2 = 4$。 3. 计算 $X + Y$ 的均值： - $X + Y$ 的均值是 $\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 1 + 2 = 3$。 4. 计算 $X + Y$ 的方差： - $X + Y$ 的方差是 $\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 3 + 4 = 7$。 5. 写出 $X + Y$ 的分布： - 由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的正态随机变量，$X + Y$ 也服从正态分布，均值为 3，方差为 7。 - 因此，$X + Y \sim N(3, 7)$。 最终答案是 $\boxed{N(3,7)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的性质，特别是两个独立正态随机变量之和的分布规律。

解题核心思路：
当两个正态随机变量相互独立时，它们的和仍服从正态分布，且新分布的均值为原两个分布均值之和，方差为原两个分布方差之和。因此，只需分别计算均值和方差即可确定最终分布。

破题关键点：

  1. 确认独立性：题目明确说明X与Y独立，因此可以直接相加方差。
  2. 正态分布参数的正确提取：注意题目中参数的含义（均值和方差）。
  3. 公式应用：均值相加，方差相加。

  1. 提取X和Y的参数

    • X服从正态分布$N(1, 3)$，即均值$\mu_X = 1$，方差$\sigma_X^2 = 3$。
    • Y服从正态分布$N(2, 4)$，即均值$\mu_Y = 2$，方差$\sigma_Y^2 = 4$。

  2. 计算X+Y的均值
    根据正态分布的性质，和的均值为：
    $\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 1 + 2 = 3.$

  3. 计算X+Y的方差
    由于X与Y独立，和的方差为：
    $\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 3 + 4 = 7.$

  4. 确定最终分布
    因此，X+Y服从正态分布：
    $X+Y \sim N(3, 7).$