A,B,C,D是四个随机变量,A.的值域是(a1,a2),B.的值域是(b1,b2,b3),C.的值域是(c1,c2,c3,c4,c5),D.的值域是(d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7)给定因子P(A|C)和P(BIA,C),对A进行变量消元,产生新的因子维度是underline(输入答案),元素个数为underline(输入答案)

变量消元法的核心是将涉及目标变量的所有因子相乘后，对目标变量求和，从而消去该变量。本题中，需对变量$A$进行消元，涉及因子$P(A|C)$和$P(B|A,C)$。

• 关键步骤：
  1. 确定因子维度：根据变量取值数目计算各因子的维度。
  2. 因子相乘：将两个因子按变量匹配相乘，得到联合因子。
  3. 对$A$求和：消去变量$A$，得到新因子的维度和元素个数。

破题关键：明确消元后保留的变量为$B$和$C$，新因子的维度由它们的取值数目决定。

1. 因子维度分析

• $P(A|C)$：
  $A$有$2$个取值，$C$有$5$个取值，维度为$2 \times 5$。
• $P(B|A,C)$：
  $B$有$3$个取值，$A$有$2$个取值，$C$有$5$个取值，维度为$3 \times 2 \times 5$。

2. 因子相乘

将$P(A|C)$和$P(B|A,C)$相乘，得到联合因子：
$P(A|C) \cdot P(B|A,C)$
此时联合因子包含变量$A$、$B$、$C$，维度为$2 \times 3 \times 5$。

3. 对$A$求和消元

对变量$A$的所有取值求和，消去$A$，得到新因子：
$\sum_{A} P(A|C) \cdot P(B|A,C)$
消元后，新因子仅包含变量$B$和$C$，维度为$B \times C$，即$3 \times 5$，元素个数为$3 \times 5 = 15$。