23.若极限lim_(xto0)(1+kx)^(2)/(x)=e^3，则常数k=（）A. (3)/(2)B. -(3)/(2)C. 3D. (1)/(3)

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是利用重要极限公式$\lim_{x \to 0}(1+kx)^{\frac{1}{kx}} = e$的变形与应用。

解题核心思路：将题目中的极限形式转化为标准形式，通过指数部分的调整，建立方程求解$k$的值。

破题关键点：

1. 识别标准极限形式：将$(1+kx)^{\frac{2}{x}}$改写为$\left[(1+kx)^{\frac{1}{kx}}\right]^{2k}$，使其与标准极限形式对应。
2. 建立方程：根据题目给出的极限结果$e^3$，得到指数部分的方程$2k = 3$，从而求出$k$。

步骤1：变形极限表达式

将原式$\lim_{x \to 0}(1+kx)^{\frac{2}{x}}$改写为：
$\lim_{x \to 0} \left[(1+kx)^{\frac{1}{kx}}\right]^{2k}$

步骤2：应用标准极限公式

根据重要极限公式$\lim_{x \to 0}(1+kx)^{\frac{1}{kx}} = e$，可得：
$\lim_{x \to 0} \left[(1+kx)^{\frac{1}{kx}}\right]^{2k} = e^{2k}$

步骤3：建立方程求解

题目给出$\lim_{x \to 0}(1+kx)^{\frac{2}{x}} = e^3$，因此：
$e^{2k} = e^3 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}$