题目
19.设f(x)=(e^x+xe^x)/(e^x)-1-(1)/(x)在x=0处连续，则应补充f(0)=____.
19.设$f(x)=\frac{e^{x}+xe^{x}}{e^{x}-1}-\frac{1}{x}$在x=0处连续，则应补充f(0)=____.
题目解答
答案
为了确定 $ f(0) $ 的值，使得函数 $ f(x) = \frac{e^x + xe^x}{e^x - 1} - \frac{1}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处连续，我们需要找到 $ f(x) $ 当 $ x $ 趋近于 0 时的极限。函数在 $ x = 0 $ 处连续，如果 $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $。
首先，让我们重写函数 $ f(x) $：
\[ f(x) = \frac{e^x + xe^x}{e^x - 1} - \frac{1}{x}. \]
我们可以从分子中提取 $ e^x $：
\[ f(x) = \frac{e^x(1 + x)}{e^x - 1} - \frac{1}{x}. \]
为了找到 $ x $ 趋近于 0 时的极限，我们可以使用 $ e^x $ 的泰勒级数展开，即 $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3) $。将这个展开式代入函数中，我们得到：
\[ f(x) = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(1 + x)}{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)) - 1} - \frac{1}{x}. \]
简化分母：
\[ f(x) = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(1 + x)}{x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)} - \frac{1}{x}. \]
展开分子：
\[ (1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(1 + x) = 1 + x + x + x^2 + \frac{x^2}{2} + O(x^3) = 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + O(x^3). \]
因此，函数变为：
\[ f(x) = \frac{1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + O(x^3)}{x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)} - \frac{1}{x}. \]
为了简化分数，我们可以将分子和分母除以 $ x $：
\[ f(x) = \frac{\frac{1}{x} + 2 + \frac{3x}{2} + O(x^2)}{1 + \frac{x}{2} + O(x^2)} - \frac{1}{x}. \]
当 $ x $ 趋近于 0 时，项 $ \frac{x}{2} $ 和 $ O(x^2) $ 趋近于 0，因此分母趋近于 1。因此，分数简化为：
\[ f(x) \approx \left( \frac{1}{x} + 2 + \frac{3x}{2} + O(x^2) \right) \left( 1 - \frac{x}{2} + O(x^2) \right) - \frac{1}{x}. \]
展开乘积：
\[ f(x) \approx \left( \frac{1}{x} + 2 + \frac{3x}{2} + O(x^2) - \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} \cdot \frac{x}{2} + O(x^2) \right) - \frac{1}{x}. \]
简化：
\[ f(x) \approx \left( \frac{1}{x} + 2 + \frac{3x}{2} + O(x^2) - \frac{1}{2} - x - \frac{3x^2}{4} + O(x^2) \right) - \frac{1}{x}. \]
合并同类项：
\[ f(x) \approx \left( \frac{1}{x} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}x + O(x^2) \right) - \frac{1}{x}. \]
消去 $ \frac{1}{x} $ 项：
\[ f(x) \approx \frac{3}{2} + \frac{1}{2}x + O(x^2). \]
当 $ x $ 趋近于 0 时，项 $ \frac{1}{2}x $ 和 $ O(x^2) $ 趋近于 0，因此 $ f(x) $ 的极限是：
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{3}{2}. \]
为了使函数在 $ x = 0 $ 处连续，我们应定义 $ f(0) = \frac{3}{2} $。因此，$ f(0) $ 的值是：
\[ \boxed{\frac{3}{2}}. \]
解析
步骤 1：确定函数在x=0处的极限
为了使函数$f(x)$在$x=0$处连续，我们需要找到$f(x)$当$x$趋近于0时的极限。即求$\lim_{x \to 0} f(x)$。
步骤 2：使用泰勒级数展开
由于直接计算极限可能比较困难，我们可以使用$e^x$的泰勒级数展开来简化计算。$e^x$的泰勒级数展开为$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$。
步骤 3：代入泰勒级数展开式
将$e^x$的泰勒级数展开式代入$f(x)$中，得到$f(x) = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(1 + x)}{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)) - 1} - \frac{1}{x}$。
步骤 4：简化表达式
简化分子和分母，得到$f(x) = \frac{1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + O(x^3)}{x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)} - \frac{1}{x}$。
步骤 5：计算极限
当$x$趋近于0时，分子和分母中的高阶项趋近于0，因此$f(x)$的极限为$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{3}{2}$。
步骤 6：补充$f(0)$的值
为了使函数在$x=0$处连续，我们需要定义$f(0) = \frac{3}{2}$。
为了使函数$f(x)$在$x=0$处连续，我们需要找到$f(x)$当$x$趋近于0时的极限。即求$\lim_{x \to 0} f(x)$。
步骤 2：使用泰勒级数展开
由于直接计算极限可能比较困难，我们可以使用$e^x$的泰勒级数展开来简化计算。$e^x$的泰勒级数展开为$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$。
步骤 3：代入泰勒级数展开式
将$e^x$的泰勒级数展开式代入$f(x)$中，得到$f(x) = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(1 + x)}{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)) - 1} - \frac{1}{x}$。
步骤 4：简化表达式
简化分子和分母，得到$f(x) = \frac{1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + O(x^3)}{x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)} - \frac{1}{x}$。
步骤 5：计算极限
当$x$趋近于0时，分子和分母中的高阶项趋近于0，因此$f(x)$的极限为$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{3}{2}$。
步骤 6：补充$f(0)$的值
为了使函数在$x=0$处连续，我们需要定义$f(0) = \frac{3}{2}$。