题目
求微分方程 sqrt (1+{y)^2}dx+ysqrt (1+{x)^2}dy=0 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $x\sqrt {1+{y}^{2}}dx+y\sqrt {1+{x}^{2}}dy=0$。我们首先将变量分离，即把含 $x$ 的项和含 $y$ 的项分别放在等式的两边。为此，我们将方程重写为：
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy$$
步骤 2：积分
对等式两边分别积分。左边对 $x$ 积分，右边对 $y$ 积分。
$$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy$$
为了积分，我们使用换元法。设 $u = 1+x^2$，则 $du = 2xdx$，因此 $\frac{1}{2}du = xdx$。同理，设 $v = 1+y^2$，则 $dv = 2ydy$，因此 $\frac{1}{2}dv = ydy$。代入得：
$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{v}}dv$$
积分后得到：
$$\sqrt{u} = -\sqrt{v} + C$$
将 $u$ 和 $v$ 替换回原变量，得到：
$$\sqrt{1+x^2} = -\sqrt{1+y^2} + C$$
由于 $C$ 是任意常数，我们可以将 $-\sqrt{1+y^2} + C$ 重新表示为另一个常数 $C'$，即：
$$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+y^2} = C'$$
为了方便，我们用 $C$ 表示这个常数，即：
$$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+y^2} = C$$
步骤 3：确定常数的范围
由于 $\sqrt{1+x^2}$ 和 $\sqrt{1+y^2}$ 都是非负的，它们的和至少为2，因此 $C \geq 2$。
给定的微分方程是 $x\sqrt {1+{y}^{2}}dx+y\sqrt {1+{x}^{2}}dy=0$。我们首先将变量分离，即把含 $x$ 的项和含 $y$ 的项分别放在等式的两边。为此，我们将方程重写为：
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy$$
步骤 2：积分
对等式两边分别积分。左边对 $x$ 积分，右边对 $y$ 积分。
$$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy$$
为了积分，我们使用换元法。设 $u = 1+x^2$，则 $du = 2xdx$，因此 $\frac{1}{2}du = xdx$。同理，设 $v = 1+y^2$，则 $dv = 2ydy$，因此 $\frac{1}{2}dv = ydy$。代入得：
$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{v}}dv$$
积分后得到：
$$\sqrt{u} = -\sqrt{v} + C$$
将 $u$ 和 $v$ 替换回原变量，得到：
$$\sqrt{1+x^2} = -\sqrt{1+y^2} + C$$
由于 $C$ 是任意常数，我们可以将 $-\sqrt{1+y^2} + C$ 重新表示为另一个常数 $C'$，即：
$$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+y^2} = C'$$
为了方便，我们用 $C$ 表示这个常数，即：
$$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+y^2} = C$$
步骤 3：确定常数的范围
由于 $\sqrt{1+x^2}$ 和 $\sqrt{1+y^2}$ 都是非负的，它们的和至少为2，因此 $C \geq 2$。