设总体X服从正态分布N(μ,δ^2),从中抽取一个容量为16的样本，测得样本标准差S=10，取显著性水平α=0.05，是否可以认为总体方差为80? χ^20.025(15)=27.488; χ^21-0.025(15)=6.262; χ^20.025(16)=28.845; χ^21-0.025(16)=6.908;

考查要点：本题主要考查方差的假设检验，涉及卡方分布的应用及双侧检验的判断。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：原假设$H_0: \delta^2 = 80$，备择假设$H_1: \delta^2 \neq 80$，属于双侧检验。
2. 选择检验统计量：使用卡方统计量$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\delta_0^2}$，其中$n$为样本容量，$S$为样本标准差，$\delta_0$为假设的总体标准差。
3. 确定临界值：根据自由度$n-1=15$和显著性水平$\alpha=0.05$，查找上下侧分位数。
4. 比较统计量与临界值：若统计量落在拒绝域，则拒绝原假设；否则接受。

破题关键点：

• 自由度的确定：自由度为$n-1=15$，而非样本容量$n=16$。
• 双侧检验的临界值范围：需同时考虑上侧和下侧分位数。

步骤1：建立假设

• 原假设：$H_0: \delta^2 = 80$
• 备择假设：$H_1: \delta^2 \neq 80$

步骤2：计算检验统计量

$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\delta_0^2} = \frac{(16-1) \times 10^2}{80} = \frac{15 \times 100}{80} = 18.75$

步骤3：确定临界值

• 自由度为$15$，显著性水平$\alpha=0.05$，双侧检验对应分位数：
  • 上侧分位数：$\chi^2_{0.025}(15) = 27.488$
  • 下侧分位数：$\chi^2_{1-0.025}(15) = 6.262$

步骤4：决策

• 检验统计量$\chi^2 = 18.75$落在区间$[6.262, 27.488]$内，不拒绝原假设。
• 结论：在$\alpha=0.05$水平下，可以认为总体方差为$80$。