设 A=} 1 & 2 & 3 2 & 4 & lambda 3 & 6 & 9 . 则下面说法正确的是 ( ).A. 当 lambda=6 时, A 的秩为 2;B. 当 lambda=6 时, A 的秩为 1;C. 当 lambda=6 时, A 的秩为 3;D. 当 lambda neq 6 时, A 的秩为 1.

本题考查矩阵秩的计算，解题思路是通过对矩阵进行初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，然后根据行阶梯形矩阵非零行的行数来确定矩阵的秩。

已知矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & \lambda \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$。

1. 首先对矩阵$A$进行初等行变换：
   • 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行的$3$倍，根据矩阵初等行变换规则$r_i - k r_j$（$r_i$表示第$i$行，$r_j$表示第$j$行，$k$为常数）可得：
     $A\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 - 2\times1 & 4 - 2\times2 & \lambda - 2\times3 \\ 3 - 3\times1 & 6 - 3\times2 & 9 - 3\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & \lambda - 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
2. 然后分情况讨论矩阵$A$的秩：
   • 当$\lambda = 6$时，矩阵变为$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，行阶梯形矩阵中非零行的行数为$1$，根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵非零行的行数，所以此时$r(A)=1$。
   • 当$\lambda \neq 6$时，矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & \lambda - 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$的行阶梯形矩阵中非零行的行数为$2$，所以此时$r(A)=2$。