连续型随机变量的密度函数是连续函数。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查对连续型随机变量密度函数性质的理解，特别是对其连续性的认识。

解题核心思路：
连续型随机变量的密度函数需要满足两个基本条件：

1. 非负性：对任意实数$x$，有$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

关键点：
密度函数的连续性并不是必要条件。即使密度函数在某些点不连续，只要满足上述两个条件，它仍然是有效的密度函数。

核心思路：通过构造反例说明密度函数可以不连续。

步骤1：回顾密度函数的定义

密度函数$f(x)$只需满足：

• $f(x) \geq 0$；
• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

步骤2：构造一个不连续的密度函数

例如，定义如下分段函数：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & x = 0, \\\frac{1}{2}, & x \in (0, 1], \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
分析：

• 在$x=0$处，函数值为$\frac{1}{2}$，而在$x=0^+$处函数值也为$\frac{1}{2}$，但此处函数在$x=0$处不连续（因为左侧极限不存在）。
• 非负性显然成立。
• 积分计算：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 1 + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，满足归一性。

结论：该函数是有效的密度函数，但并非连续函数，因此原命题错误。