17.设A是n阶矩阵，若对任意的n维列向量α，有A^*alpha=0，则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k满足A. k=0B. k=1C. k>1D. k=n

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质、矩阵秩与基础解系的关系，以及齐次线性方程组解的结构。

解题核心思路：

1. 条件转化：由题意，对任意向量$\alpha$，有$A^*\alpha=0$，说明$A^*$必为零矩阵。
2. 秩的推导：根据伴随矩阵的秩性质，若$A^*=O$，则$R(A) < n-1$。
3. 基础解系个数：齐次方程组$Ax=0$的基础解系所含解向量个数$k = n - R(A)$，结合$R(A) < n-1$，可得$k > 1$。

破题关键点：

• 关键结论：当$A^*=O$时，$R(A) < n-1$。
• 核心公式：$k = n - R(A)$。

条件分析

题目给出对任意$n$维列向量$\alpha$，有$A^*\alpha=0$。这意味着无论$\alpha$取何值，$A^*$作用后结果均为零向量。唯一满足此条件的情况是$A^*$本身为零矩阵，即$A^*=O$。

伴随矩阵的秩性质

根据伴随矩阵的性质：

• 若$R(A) = r$，则：
  • 当$r < n-1$时，$A^*=O$；
  • 当$r = n-1$时，$A^*$的秩为$1$；
  • 当$r = n$时，$A^*$可逆。

题目中$A^*=O$，因此$R(A) < n-1$。

基础解系个数计算

齐次方程组$Ax=0$的基础解系所含解向量个数为：
$k = n - R(A)$
由于$R(A) < n-1$，代入得：
$k = n - R(A) > n - (n-1) = 1$
因此，$k > 1$，对应选项C。