在某地区抽取的120家企业按利润额进行分组，结果如下： 按利润额分组（万元） 企业数（个） 200～300 19 300～400 30 400～500 42 500～600 18 600以上 11 合计 120 计算120家企业利润额的均值和标准差

考查要点：本题主要考查分组数据的均值和标准差的计算方法，需要掌握组中值的计算、加权平均的应用，以及方差与标准差的公式推导。

解题核心思路：

1. 均值计算：用各组的组中值代表该组数据的平均值，乘以对应频数，求和后除以总频数。
2. 标准差计算：先计算方差，即各组组中值与均值的离差平方的加权平均，再开平方。

破题关键点：

• 组中值的确定：对于开口组（如“600以上”），需合理假设上限（如取650万元）。
• 公式选择：因题目给出的是总体数据，方差计算时需除以总频数（n），而非n-1。

1. 计算均值

1. 确定组中值：

   • 200～300：$\frac{200+300}{2}=250$（万元）
   • 300～400：$\frac{300+400}{2}=350$（万元）
   • 400～500：$\frac{400+500}{2}=450$（万元）
   • 500～600：$\frac{500+600}{2}=550$（万元）
   • 600以上：假设上限为700，组中值为$\frac{600+700}{2}=650$（万元）

2. 计算总利润：
   $\begin{align*} 250 \times 19 &= 4750, \\ 350 \times 30 &= 10500, \\ 450 \times 42 &= 18900, \\ 550 \times 18 &= 9900, \\ 650 \times 11 &= 7150. \end{align*}$
   总利润：$4750 + 10500 + 18900 + 9900 + 7150 = 51200$（万元）

3. 计算均值：
   $\bar{x} = \frac{51200}{120} \approx 426.67 \text{（万元）}$

2. 计算标准差

1. 计算各组离差平方的加权和：
   $\begin{align*} (250-426.67)^2 \times 19 &\approx 593133.64, \\ (350-426.67)^2 \times 30 &\approx 176366.7, \\ (450-426.67)^2 \times 42 &\approx 22866.9, \\ (550-426.67)^2 \times 18 &\approx 273799.62, \\ (650-426.67)^2 \times 11 &\approx 548603.99. \end{align*}$
   总和：$593133.64 + 176366.7 + 22866.9 + 273799.62 + 548603.99 = 1614770.85$

2. 计算方差：
   $\sigma^2 = \frac{1614770.85}{120} \approx 13456.42$

3. 计算标准差：
   $\sigma = \sqrt{13456.42} \approx 116.48 \text{（万元）}$