题目
(7分)设总体的均值及方差都存在,与均未知,是的样本,试证明不论总体服从什么分布,样本方差都是总体方差的无偏估计.
(7分)设总体
的均值
及方差
都存在,
与
均未知,
是的样本,试证明不论总体服从什么分布,样本方差
都是总体方差
的无偏估计.
题目解答
答案
证明 因为
……………4分
………7分
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差定义为${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$是样本均值。
步骤 2：计算样本方差的期望值
为了证明样本方差是总体方差的无偏估计，我们需要计算$E(S^2)$。首先，我们注意到$\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline {{X}^{2}}$。
步骤 3：计算$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$的期望值
$E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=nE(X^2)=n[D(X)+E(X)^2]=n(\sigma ^2+\mu^2)$，其中$\mu=E(X)$是总体均值。
步骤 4：计算$\overline {{X}^{2}}$的期望值
$E(\overline {{X}^{2}})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n}E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\sigma ^2+\mu^2$。
步骤 5：计算$E(S^2)$
$E(S^2)=E(\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2})=\dfrac {1}{n-1}E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline {{X}^{2}})=\dfrac {1}{n-1}(n(\sigma ^2+\mu^2)-n(\sigma ^2+\mu^2))=\sigma ^2$。
样本方差定义为${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$是样本均值。
步骤 2：计算样本方差的期望值
为了证明样本方差是总体方差的无偏估计，我们需要计算$E(S^2)$。首先，我们注意到$\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline {{X}^{2}}$。
步骤 3：计算$\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$的期望值
$E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=nE(X^2)=n[D(X)+E(X)^2]=n(\sigma ^2+\mu^2)$，其中$\mu=E(X)$是总体均值。
步骤 4：计算$\overline {{X}^{2}}$的期望值
$E(\overline {{X}^{2}})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\dfrac {1}{n}E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\sigma ^2+\mu^2$。
步骤 5：计算$E(S^2)$
$E(S^2)=E(\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2})=\dfrac {1}{n-1}E(\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n\overline {{X}^{2}})=\dfrac {1}{n-1}(n(\sigma ^2+\mu^2)-n(\sigma ^2+\mu^2))=\sigma ^2$。