题目
求由方程2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0确定的隐函数z=z(x，y)的极值．
求由方程2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0确定的隐函数z=z(x，y)的极值．
题目解答
答案
在方程2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0两边取微分，得 4xdx+4ydy+2zdz+8(zdz+xdz)-dz=0． 整理得[*] 即 [*] 令[*]，得y=0，x=-2z，代入已知方程，得7z2+z-8=(z-1)(7z+8)=0，得z1=1，[*]，于是驻点为(-2，0)，[*]，而 [*] 于是[*] 在(-2，0)，[*]处都有B2-AC＜0，因此z=z(x，y)在点(-2，0)处取极小值z=1；在点[*]处取极大值[*]
解析
步骤 1：求隐函数z=z(x,y)的偏导数
对给定的方程2x^2+2y^2+z^2+8xz-z+8=0，我们首先需要求出z关于x和y的偏导数。为此，我们对方程两边同时求微分，得到：
4xdx+4ydy+2zdz+8(zdz+xdz)-dz=0
整理得：
(4x+8z)dx+(4y)dy+(2z+8x-1)dz=0
步骤 2：求驻点
令dz=0，得到：
4x+8z=0
4y=0
解得y=0，x=-2z
将y=0，x=-2z代入原方程，得到：
2(-2z)^2+2(0)^2+z^2+8(-2z)z-z+8=0
化简得：
7z^2+z-8=0
解得z=1或z=-8/7
因此，驻点为(-2,0,1)和(-16/7,0,-8/7)
步骤 3：判断极值
为了判断驻点处的极值，我们需要计算二阶偏导数，并计算Hessian矩阵的行列式。
计算二阶偏导数：
∂²z/∂x²=4+8∂z/∂x
∂²z/∂y²=4
∂²z/∂x∂y=0
∂²z/∂y∂x=0
∂²z/∂z²=2+8∂z/∂x
将驻点代入二阶偏导数，得到：
∂²z/∂x²(-2,0,1)=12
∂²z/∂y²(-2,0,1)=4
∂²z/∂x∂y(-2,0,1)=0
∂²z/∂y∂x(-2,0,1)=0
∂²z/∂z²(-2,0,1)=10
∂²z/∂x²(-16/7,0,-8/7)=12
∂²z/∂y²(-16/7,0,-8/7)=4
∂²z/∂x∂y(-16/7,0,-8/7)=0
∂²z/∂y∂x(-16/7,0,-8/7)=0
∂²z/∂z²(-16/7,0,-8/7)=10
计算Hessian矩阵的行列式：
Hessian矩阵为：
| 12 0 |
| 0 4 |
行列式为：
12*4-0*0=48
由于行列式大于0，且∂²z/∂x²>0，因此(-2,0,1)处为极小值点。
Hessian矩阵为：
| 12 0 |
| 0 4 |
行列式为：
12*4-0*0=48
由于行列式大于0，且∂²z/∂x²>0，因此(-16/7,0,-8/7)处为极小值点。
对给定的方程2x^2+2y^2+z^2+8xz-z+8=0，我们首先需要求出z关于x和y的偏导数。为此，我们对方程两边同时求微分，得到：
4xdx+4ydy+2zdz+8(zdz+xdz)-dz=0
整理得：
(4x+8z)dx+(4y)dy+(2z+8x-1)dz=0
步骤 2：求驻点
令dz=0，得到：
4x+8z=0
4y=0
解得y=0，x=-2z
将y=0，x=-2z代入原方程，得到：
2(-2z)^2+2(0)^2+z^2+8(-2z)z-z+8=0
化简得：
7z^2+z-8=0
解得z=1或z=-8/7
因此，驻点为(-2,0,1)和(-16/7,0,-8/7)
步骤 3：判断极值
为了判断驻点处的极值，我们需要计算二阶偏导数，并计算Hessian矩阵的行列式。
计算二阶偏导数：
∂²z/∂x²=4+8∂z/∂x
∂²z/∂y²=4
∂²z/∂x∂y=0
∂²z/∂y∂x=0
∂²z/∂z²=2+8∂z/∂x
将驻点代入二阶偏导数，得到：
∂²z/∂x²(-2,0,1)=12
∂²z/∂y²(-2,0,1)=4
∂²z/∂x∂y(-2,0,1)=0
∂²z/∂y∂x(-2,0,1)=0
∂²z/∂z²(-2,0,1)=10
∂²z/∂x²(-16/7,0,-8/7)=12
∂²z/∂y²(-16/7,0,-8/7)=4
∂²z/∂x∂y(-16/7,0,-8/7)=0
∂²z/∂y∂x(-16/7,0,-8/7)=0
∂²z/∂z²(-16/7,0,-8/7)=10
计算Hessian矩阵的行列式：
Hessian矩阵为：
| 12 0 |
| 0 4 |
行列式为：
12*4-0*0=48
由于行列式大于0，且∂²z/∂x²>0，因此(-2,0,1)处为极小值点。
Hessian矩阵为：
| 12 0 |
| 0 4 |
行列式为：
12*4-0*0=48
由于行列式大于0，且∂²z/∂x²>0，因此(-16/7,0,-8/7)处为极小值点。