题目
据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率： （1）恰有3人； （2）至少有2人； （3）不少于1人且不多于3人； （4）多于5人。
据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率： （1）恰有3人； （2）至少有2人； （3）不少于1人且不多于3人； （4）多于5人。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分布类型
根据题意，随机变量X表示15个人中无任何健康保险的人数，且各人是否有健康保险相互独立。因此，X服从二项分布B(15, 0.2)。
步骤 2：写出分布律
二项分布的分布律为 $P(X=k)={C}_{n}^{k}\times p^{k}\times (1-p)^{n-k}$，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率，k为成功次数。将n=15，p=0.2代入，得到 $P(X=k)={C}_{15}^{k}\times {0.2}^{k}\times {0.8}^{15-k}$，$k=0,1,2,\cdots 15$。
步骤 3：计算概率
（1）恰有3人无任何健康保险的概率为 $P(X=3)={C}_{15}^{3}\times {0.2}^{3}\times {0.8}^{12}$。
（2）至少有2人无任何健康保险的概率为 $P(X\geqslant 2)=1-P(X=1)-P(X=0)$。
（3）不少于1人且不多于3人无任何健康保险的概率为 $P(1\leqslant X\leqslant 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$。
（4）多于5人无任何健康保险的概率为 $P(X\gt 5)=1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)$。
根据题意，随机变量X表示15个人中无任何健康保险的人数，且各人是否有健康保险相互独立。因此，X服从二项分布B(15, 0.2)。
步骤 2：写出分布律
二项分布的分布律为 $P(X=k)={C}_{n}^{k}\times p^{k}\times (1-p)^{n-k}$，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率，k为成功次数。将n=15，p=0.2代入，得到 $P(X=k)={C}_{15}^{k}\times {0.2}^{k}\times {0.8}^{15-k}$，$k=0,1,2,\cdots 15$。
步骤 3：计算概率
（1）恰有3人无任何健康保险的概率为 $P(X=3)={C}_{15}^{3}\times {0.2}^{3}\times {0.8}^{12}$。
（2）至少有2人无任何健康保险的概率为 $P(X\geqslant 2)=1-P(X=1)-P(X=0)$。
（3）不少于1人且不多于3人无任何健康保险的概率为 $P(1\leqslant X\leqslant 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$。
（4）多于5人无任何健康保险的概率为 $P(X\gt 5)=1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)$。