练习6 设随机变量X~N(0,4),Y~U(0,4),并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X-3Y).

为了求解 $ \text{Var}(X+Y) $ 和 $ \text{Var}(2X-3Y) $，我们需要使用方差的性质。方差的性质包括： 1. 对于任意随机变量 $ X $ 和 $ Y $，如果 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，那么 $ \text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $。 2. 对于任意随机变量 $ X $ 和常数 $ a $， $ \text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X) $。 首先，我们需要知道 $ X $ 和 $ Y $ 的方差。 - 随机变量 $ X \sim N(0, 4) $。对于正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，方差为 $ \sigma^2 $。因此， $ \text{Var}(X) = 4 $。 - 随机变量 $ Y \sim U(0, 4) $。对于均匀分布 $ U(a, b) $，方差为 $ \frac{(b-a)^2}{12} $。因此， $ \text{Var}(Y) = \frac{(4-0)^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $。 现在，我们可以求解 $ \text{Var}(X+Y) $。 \[ \text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \] 接下来，我们可以求解 $ \text{Var}(2X-3Y) $。 \[ \text{Var}(2X-3Y) = \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y) = 2^2 \text{Var}(X) + (-3)^2 \text{Var}(Y) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot \frac{4}{3} = 16 + 12 = 28 \] 因此，答案是： \[ \boxed{\frac{16}{3}} \quad \text{和} \quad \boxed{28} \]