题目
设总体 X sim N(mu, 2^2)，通过样本 X_1, X_2, ldots, X_n 检验假设 H_0: mu geq 10，则在显著性水平 alpha 下，该问题拒绝域的形式为().A. overline(X) - 10 B. overline(X) - mu > (2)/(sqrt(n)) u_(1-alpha)C. overline(X) - 10 > (2)/(sqrt(n)) u_(1-alpha/2)D. overline(X) - mu
设总体 $X \sim N(\mu, 2^2)$，通过样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 检验假设 $H_0: \mu \geq 10$，则在显著性水平 $\alpha$ 下，该问题拒绝域的形式为().
A. $\overline{X} - 10 < \frac{2}{\sqrt{n}} u_{\alpha}$
B. $\overline{X} - \mu > \frac{2}{\sqrt{n}} u_{1-\alpha}$
C. $\overline{X} - 10 > \frac{2}{\sqrt{n}} u_{1-\alpha/2}$
D. $\overline{X} - \mu < \frac{2}{\sqrt{n}} u_{\alpha}$
题目解答
答案
A. $\overline{X} - 10 < \frac{2}{\sqrt{n}} u_{\alpha}$
解析
步骤 1：确定检验类型
假设 $H_0: \mu \geq 10$，备择假设 $H_1: \mu < 10$。这是一个左单侧检验。
步骤 2：计算检验统计量
总体 $X \sim N(\mu, 2^2)$，总体标准差 $\sigma = 2$。样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{4}{n}\right)$。检验统计量为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 10}{2 / \sqrt{n}} \] 其中 $\mu_0 = 10$。
步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平 $\alpha$ 下，我们拒绝原假设，如果检验统计量小于标准正态分布的 $\alpha$-分位数，即 $u_\alpha$。因此，拒绝域为：\[ Z < u_\alpha \] 将 $Z$ 的表达式代入，我们得到：\[ \frac{\overline{X} - 10}{2 / \sqrt{n}} < u_\alpha \] 两边同时乘以 $\frac{2}{\sqrt{n}}$，我们得到：\[ \overline{X} - 10 < \frac{2}{\sqrt{n}} u_\alpha \]
假设 $H_0: \mu \geq 10$，备择假设 $H_1: \mu < 10$。这是一个左单侧检验。
步骤 2：计算检验统计量
总体 $X \sim N(\mu, 2^2)$，总体标准差 $\sigma = 2$。样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{4}{n}\right)$。检验统计量为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 10}{2 / \sqrt{n}} \] 其中 $\mu_0 = 10$。
步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平 $\alpha$ 下，我们拒绝原假设，如果检验统计量小于标准正态分布的 $\alpha$-分位数，即 $u_\alpha$。因此，拒绝域为：\[ Z < u_\alpha \] 将 $Z$ 的表达式代入，我们得到：\[ \frac{\overline{X} - 10}{2 / \sqrt{n}} < u_\alpha \] 两边同时乘以 $\frac{2}{\sqrt{n}}$，我们得到：\[ \overline{X} - 10 < \frac{2}{\sqrt{n}} u_\alpha \]