15【判断题】若二维连续型随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立与X与Y不相关等价。A 对B 错

要判断二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布时，$X$ 与 $Y$ 相互独立与 $X$ 与 $Y$ 不相关等价，我们需要理解这两个概念的定义和它们之间的关系。 ### 相互独立 两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，如果它们的联合概率密度函数 $f_{X,Y}(x, y)$ 可以表示为它们的边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 的乘积，即： \[ f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) \] ### 不相关 两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关，如果它们的协方差为零，即： \[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = 0 \] ### 二维正态分布 对于二维正态分布，联合概率密度函数由以下形式给出： \[ f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \left( \frac{x-\mu_X}{\sigma_X} \right)^2 - 2\rho \left( \frac{x-\mu_X}{\sigma_X} \right) \left( \frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y} \right) + \left( \frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y} \right)^2 \right] \right) \] 其中 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的均值，$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的标准差，$\rho$ 是 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数。 ### 相互独立与不相关的关系 对于二维正态分布，$X$ 和 $Y$ 相互独立当且仅当相关系数 $\rho = 0$。这是因为如果 $\rho = 0$，联合概率密度函数简化为： \[ f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y} \exp\left( -\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{x-\mu_X}{\sigma_X} \right)^2 + \left( \frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y} \right)^2 \right] \right) = \left( \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2} \right) \right) \left( \frac{1}{\sigma_Y\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2} \right) \right) = f_X(x) f_Y(y) \] 这表明 $X$ 和 $Y$ 相互独立。 此外，相关系数 $\rho$ 也等于 $X$ 和 $Y$ 的协方差除以它们的标准差的乘积： \[ \rho = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \] 因此，如果 $\rho = 0$，则 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，这意味着 $X$ 和 $Y$ 不相关。 反之，如果 $X$ 和 $Y$ 不相关，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，则 $\rho = 0$，这意味着 $X$ 和 $Y$ 相互独立。 因此，对于二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 相互独立与 $X$ 与 $Y$ 不相关等价。 答案是：$\boxed{A}$