2.设 my^3+nx^2y+i(x^3+lxy^2) 为解析函数,试确定l,m,n的值.

考查要点：本题主要考查复变函数中解析函数的判定条件，即柯西-黎曼（C-R）方程的应用。需要根据给定的复变函数形式，分离实部和虚部，计算偏导数后代入C-R方程，解出未知参数。

解题核心思路：

1. 分离实部和虚部：将函数分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$。
2. 计算偏导数：分别求出$u$和$v$对$x$、$y$的偏导数。
3. 代入C-R方程：根据$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$建立方程组，解出参数。

破题关键点：

• 正确分离实虚部：注意虚数单位$i$前的项为虚部。
• 偏导数计算：对多项式函数求导时需注意变量的独立性。
• 方程组的建立与求解：通过系数比较确定参数值。

设复变函数$f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中：

• 实部：$u(x,y) = m y^3 + n x^2 y$
• 虚部：$v(x,y) = x^3 + l x y^2$

步骤1：计算偏导数

1. 实部偏导数：
   • $\frac{\partial u}{\partial x} = 2n x y$
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = 3m y^2 + n x^2$
2. 虚部偏导数：
   • $\frac{\partial v}{\partial x} = 3x^2 + l y^2$
   • $\frac{\partial v}{\partial y} = 2l x y$

步骤2：代入C-R方程

1. 第一式：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$
   $2n x y = 2l x y \implies n = l$
2. 第二式：$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
   $3m y^2 + n x^2 = -(3x^2 + l y^2)$
   比较系数得：
   • $x^2$项：$n = -3$
   • $y^2$项：$3m = -l$

步骤3：联立求解

• 由$n = l$和$n = -3$，得$l = -3$。
• 代入$3m = -l$，得$3m = 3 \implies m = 1$。