题目
(8)设f(x)有连续导数,对任意a满足 (x+a)=(int )_(x)^x+adfrac (t({t)^2+1)}(f(t))dt+f(x) 且 f(1)=-|||-sqrt (2), 则 f(x)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：对给定的等式两边求导
给定的等式是 $f(x+a)={\int }_{x}^{x+a}\dfrac {t({t}^{2}+1)}{f(t)}dt+f(x)$。对两边关于x求导，利用微积分基本定理，得到 $f'(x+a)=\dfrac {(x+a)({(x+a)}^{2}+1)}{f(x+a)}-\dfrac {x({x}^{2}+1)}{f(x+a)}$。
步骤 2：简化导数表达式
将导数表达式简化为 $f'(x+a)=\dfrac {(x+a)({(x+a)}^{2}+1)-x({x}^{2}+1)}{f(x+a)}$。
步骤 3：利用给定条件求解f(x)
由于f(x)有连续导数，且f(1)=$\sqrt {2}$，我们可以将x=1代入导数表达式中，得到 $f'(1+a)=\dfrac {(1+a)({(1+a)}^{2}+1)-1({1}^{2}+1)}{f(1+a)}$。由于f(1)=$\sqrt {2}$，我们可以进一步求解f(x)。
步骤 4：求解f(x)
通过观察和代数操作，可以发现f(x)的形式为 $f(x)=\sqrt {x({x}^{2}+1)}$。这可以通过验证f(1)=$\sqrt {2}$来确认。
给定的等式是 $f(x+a)={\int }_{x}^{x+a}\dfrac {t({t}^{2}+1)}{f(t)}dt+f(x)$。对两边关于x求导，利用微积分基本定理，得到 $f'(x+a)=\dfrac {(x+a)({(x+a)}^{2}+1)}{f(x+a)}-\dfrac {x({x}^{2}+1)}{f(x+a)}$。
步骤 2：简化导数表达式
将导数表达式简化为 $f'(x+a)=\dfrac {(x+a)({(x+a)}^{2}+1)-x({x}^{2}+1)}{f(x+a)}$。
步骤 3：利用给定条件求解f(x)
由于f(x)有连续导数，且f(1)=$\sqrt {2}$，我们可以将x=1代入导数表达式中，得到 $f'(1+a)=\dfrac {(1+a)({(1+a)}^{2}+1)-1({1}^{2}+1)}{f(1+a)}$。由于f(1)=$\sqrt {2}$，我们可以进一步求解f(x)。
步骤 4：求解f(x)
通过观察和代数操作，可以发现f(x)的形式为 $f(x)=\sqrt {x({x}^{2}+1)}$。这可以通过验证f(1)=$\sqrt {2}$来确认。