题目

7.填空题lim_(xtoinfty)(3x^2-2x+4)/(2x^2)+x-1=_.(英文状态下输入，写成a/b的形式)

7.填空题 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-2x+4}{2x^{2}+x-1}=\_.$(英文状态下输入，写成a/b的形式)

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-2x+4}{2x^{2}+x-1}$，我们可以使用以下步骤：

  1. 识别最高次项：在分子 $3x^2 - 2x + 4$ 中，最高次项是 $3x^2$。在分母 $2x^2 + x - 1$ 中，最高次项是 $2x^2$。

  2. 分子分母同时除以最高次项：将分子和分母同时除以 $x^2$，得到：
    $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-2x+4}{2x^{2}+x-1} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}$

  3. 求极限：当 $x$ 趋于无穷大时，$\frac{2}{x}$、$\frac{4}{x^2}$、$\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x^2}$ 都趋于 0。因此，极限变为：
    $\lim_{x\to\infty}\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}$

所以，答案是 $\boxed{\frac{3}{2}}$。

解析

本题考查的是求函数在 $x$ 趋于无穷大时的极限。解题思路是通过分析分子分母的最高次项，将分子分母同时除以最高次项，然后利用当 $x$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x^n}$（$n$ 为正整数）都趋于 0 的性质来求解极限。

  1. 首先，确定分子 $3x^2 - 2x + 4$ 的最高次项为 $3x^2$，分母 $2x^2 + x - 1$ 的最高次项为 $2x^2$。
  2. 接着，将分子分母同时除以 $x^2$，根据分式的运算法则：
    • 对于分子：$\frac{3x^2 - 2x + 4}{x^2}=\frac{3x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{4}{x^2}=3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}$。
    • 对于分母：$\frac{2x^2 + x - 1}{x^2}=\frac{2x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}=2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$。
      所以原式变为 $\lim_{x\to\infty}\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}$。
  3. 最后，根据极限的性质，当 $x\to\infty$ 时：
    • $\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0$，$\lim_{x\to\infty}\frac{4}{x^2}=0$，$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$，$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0$。
    • 则 $\lim_{x\to\infty}\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}=\frac{\lim_{x\to\infty}(3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2})}{\lim_{x\to\infty}(2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2})}=\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0}=\frac{3}{2}$。