已知 A 为 m 行 n 列的矩阵且行向量组线性无关，则下列说法一定正确的是()A. R(A) = nB. A 的列秩为 nC. m geq nD. R(A) = m

本题考查矩阵的秩、行秩、列秩以及向量组线性相关性之间的关系。解题的关键在于理解矩阵的秩与行向量组、列向量组线性相关性的联系，并根据已知条件进行推理。

1. 明确矩阵秩的相关概念

• 矩阵的秩 $R(A)$ 等于其行秩，也等于其列秩。行秩是指矩阵行向量组的极大线性无关组所含向量的个数，列秩是指矩阵列向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
• 已知矩阵 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，即 $A$ 有 $m$ 个行向量和 $n$ 个列向量。

2. 根据行向量组线性无关的条件进行推理

• 因为矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，而一个向量组线性无关时，其极大线性无关组就是该向量组本身。所以矩阵 $A$ 的行向量组的极大线性无关组所含向量的个数就是 $m$，即矩阵 $A$ 的行秩为 $m$。
• 又因为矩阵的秩等于行秩，所以 $R(A)=m$。

3. 对各选项进行分析

• 选项A：仅知道行向量组线性无关，不能得出 $R(A)=n$。例如，当 $m \lt n$ 时，$R(A)=m\neq n$，所以该选项错误。
• 选项B：矩阵的列秩等于行秩，由前面推理可知行秩为 $m$，所以列秩也为 $m$，而不是 $n$，该选项错误。
• 选项C：当 $m \lt n$ 时，矩阵 $A$ 的行向量组也可以线性无关，例如 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$m = 2$，$n = 2$；再如 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$，$m = 2$，$n = 3$，行向量组依然线性无关，所以不能得出 $m\geq n$，该选项错误。
• 选项D：前面已经推理得出 $R(A)=m$，该选项正确。