设Σ是由直线{}x=0y=0xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dx dy.

为了解决给定的问题，我们需要找到曲面积分$\iint_{\Sigma_1} x \, dy \, dz + (y+1) \, dz \, dx + (z+2) \, dx \, dy$的值，其中$\Sigma_1$是曲面$\Sigma$介于平面$x + y + z = 0$与$x + y + z = 1$之间部分的外侧。曲面$\Sigma$是由直线$\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$绕直线$\left\{\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=t\end{matrix}\right.$旋转一周得到的。 首先，我们确定曲面$\Sigma$的方程。直线$\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$绕直线$\left\{\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=t\end{matrix}\right.$旋转。从点$(x, y, z)$到直线$\left\{\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=t\end{matrix}\right.$的距离与点$(0, 0, z)$到该直线的距离相同。点$(x, y, z)$到直线$\left\{\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=t\end{matrix}\right.$的距离由下式给出： \[ \frac{|(x-y, y-z, z-x) \cdot (1, -1, 0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{|x - y - y + z|}{\sqrt{2}} = \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{2}}. \] 点$(0, 0, z)$到直线$\left\{\begin{matrix}x=t\\y=t\\z=t\end{matrix}\right.$的距离为： \[ \frac{|(0, -z, 0) \cdot (1, -1, 0)|}{\sqrt{2}} = \frac{|0 + z|}{\sqrt{2}} = \frac{|z|}{\sqrt{2}}. \] 将这些距离设为相等，我们得到： \[ \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{2}} = \frac{|z|}{\sqrt{2}} \implies |x - 2y + z| = |z| \implies x - 2y + z = \pm z. \] 这给出了两个方程： 1. $x - 2y + z = z \implies x = 2y$, 2. $x - 2y + z = -z \implies x - 2y + 2z = 0 \implies x + 2z = 2y \implies y = \frac{x + 2z}{2}$. 结合这些，我们得到曲面$\Sigma$的方程： \[ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0. \] 然而，一个更简单的方法是使用散度定理。向量场$\mathbf{F} = (x, y+1, z+2)$的散度为： \[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial (y+1)}{\partial y} + \frac{\partial (z+2)}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3. \] 由$\Sigma_1$围成的体积$V$是两个平面$x + y + z = 0$和$x + y + z = 1$之间的区域，该区域在曲面$\Sigma$内。该区域的体积是一个底面为等边三角形的三棱柱，高为1。等边三角形的边长为$\sqrt{2}$，面积为： \[ \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{12}. \] 体积为： \[ V = \text{Area} \cdot \text{height} = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12}. \] 曲面积分是： \[ \iint_{\Sigma_1} x \, dy \, dz + (y+1) \, dz \, dx + (z+2) \, dx \, dy = \iiint_V 3 \, dV = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}. \] 因此，曲面积分的值为： \[ \boxed{\frac{\pi}{3}}. \]