三、证明题。-|||-1.设函数f(x)在[0,1]上连续,且 leqslant f(x)leqslant 1 。证明:至少存在一点 xi in [ 0,1] ,使得 (xi )=xi -

考查要点：本题主要考查连续函数的零点定理的应用，以及通过构造辅助函数解决不动点问题的能力。

解题核心思路：

1. 分类讨论：首先检查端点$x=0$和$x=1$是否直接满足$f(x)=x$。
2. 构造辅助函数：若端点不满足，则定义$g(x)=f(x)-x$，利用其连续性和端点函数值的符号变化，应用零点定理。

破题关键点：

• 零点定理的条件：函数连续且端点函数值异号。
• 辅助函数的构造将原问题转化为寻找$g(x)=0$的解。

情况1：端点直接满足

• 若$f(0)=0$，则取$\xi=0$，显然$f(\xi)=\xi$。
• 若$f(1)=1$，则取$\xi=1$，显然$f(\xi)=\xi$。

情况2：端点不满足

若$f(0)\neq0$且$f(1)\neq1$，则：

1. 分析端点函数值：

   • 由$0 \leq f(0) \leq 1$且$f(0)\neq0$，得$f(0)>0$。
   • 由$0 \leq f(1) \leq 1$且$f(1)\neq1$，得$f(1)<1$。

2. 构造辅助函数：
   定义$g(x)=f(x)-x$，因$f(x)$连续，$g(x)$在$[0,1]$上连续。

3. 计算端点值：

   • $g(0)=f(0)-0=f(0)>0$，
   • $g(1)=f(1)-1<0$（因$f(1)<1$）。

4. 应用零点定理：
   $g(x)$在$[0,1]$上连续，且$g(0)>0$，$g(1)<0$，故存在$\xi \in (0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=\xi$。