题目
设总体X在区间 [ 12 , 20 ] 上服从均匀分布 ，_(1),(x)_(2),(x)_(3))为来自总体 X 的一个简单随机样本则_(1),(x)_(2),(x)_(3))A_(1),(x)_(2),(x)_(3))B_(1),(x)_(2),(x)_(3))C_(1),(x)_(2),(x)_(3))D_(1),(x)_(2),(x)_(3))
设总体X在区间 [ 12 , 20 ] 上服从均匀分布 ，
为来自总体 X 的一个简单随机样本则
A
B
C
D
题目解答
答案
由题设可知总体X的概率密度为
,则X的分布为
，那么样本
的分布函数为
则
故答案为D。
解析
步骤 1：确定总体X的概率密度函数
总体X在区间 [12, 20] 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{8}, & 12 \leq x \leq 20 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right. \]
步骤 2：确定总体X的分布函数
根据概率密度函数，总体X的分布函数为：
\[ F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 12 \\ \frac{x - 12}{8}, & 12 \leq x \leq 20 \\ 1, & x > 20 \end{array} \right. \]
步骤 3：确定样本最大值的分布函数
样本${X}_{(3)}=\{ max{X}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\} $的分布函数为${F}^{{F}_{(x)}] }^{3}$，即：
\[ F_{(3)}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 12 \\ \left(\frac{x - 12}{8}\right)^3, & 12 \leq x \leq 20 \\ 1, & x > 20 \end{array} \right. \]
步骤 4：计算$(max{x}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\gt 18)$的概率
根据分布函数，计算$(max{x}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\gt 18)$的概率为：
\[ P(max{x}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\gt 18) = 1 - F_{(3)}(18) = 1 - \left(\frac{18 - 12}{8}\right)^3 = 1 - \left(\frac{6}{8}\right)^3 = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64} \]
总体X在区间 [12, 20] 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{8}, & 12 \leq x \leq 20 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right. \]
步骤 2：确定总体X的分布函数
根据概率密度函数，总体X的分布函数为：
\[ F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 12 \\ \frac{x - 12}{8}, & 12 \leq x \leq 20 \\ 1, & x > 20 \end{array} \right. \]
步骤 3：确定样本最大值的分布函数
样本${X}_{(3)}=\{ max{X}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\} $的分布函数为${F}^{{F}_{(x)}] }^{3}$，即：
\[ F_{(3)}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 12 \\ \left(\frac{x - 12}{8}\right)^3, & 12 \leq x \leq 20 \\ 1, & x > 20 \end{array} \right. \]
步骤 4：计算$(max{x}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\gt 18)$的概率
根据分布函数，计算$(max{x}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\gt 18)$的概率为：
\[ P(max{x}_{1},{X}_{2},{X}_{3}\gt 18) = 1 - F_{(3)}(18) = 1 - \left(\frac{18 - 12}{8}\right)^3 = 1 - \left(\frac{6}{8}\right)^3 = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64} \]