题目
2.4 某大学有10000名本科生，现欲估计在暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了200名学生进行调查，得到p=0.35。试估计该大学所有本科生中暑假参加英语培训班的比例的95%的置信区间。
2.4 某大学有10000名本科生，现欲估计在暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了200名学生进行调查，得到p=0.35。试估计该大学所有本科生中暑假参加英语培训班的比例的95%的置信区间。
题目解答
答案
已知样本比例 $\hat{p} = 0.35$，样本量 $n = 200$，置信水平为95%（对应 $z_{\alpha/2} = 1.96$）。
- 计算标准误：
$\text{标准误} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.35 \times 0.65}{200}} \approx 0.0337$ - 计算 margin of error：
$\text{Margin of Error} = z_{\alpha/2} \times \text{标准误} \approx 1.96 \times 0.0337 \approx 0.066$ - 置信区间为：
$\hat{p} \pm \text{Margin of Error} = 0.35 \pm 0.066 = (0.284, 0.416)$
答案： $\boxed{(0.284, 0.416)}$
解析
考查要点：本题主要考查比例的置信区间估计，涉及样本比例、标准误、边际误差的计算，以及正态近似法的应用。
解题核心思路：
- 确定已知条件：样本比例 $\hat{p}=0.35$，样本量 $n=200$，置信水平 $95\%$（对应 $z_{\alpha/2}=1.96$）。
- 计算标准误：反映样本比例的抽样误差大小。
- 计算边际误差：结合标准误和临界值 $z_{\alpha/2}$，确定置信区间的宽度。
- 构建置信区间：以样本比例为中心，加上和减去边际误差。
破题关键点：
- 正态近似条件：需验证 $n\hat{p} \geq 5$ 和 $n(1-\hat{p}) \geq 5$，确保使用正态分布近似合理。
- 有限总体校正：若总体量较小，需考虑校正因子，但本题总体量远大于样本量，可忽略。
步骤1：验证正态近似条件
计算 $n\hat{p} = 200 \times 0.35 = 70$，$n(1-\hat{p}) = 200 \times 0.65 = 130$，均远大于5，满足正态近似条件。
步骤2：计算标准误
标准误公式为：
$\text{标准误} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.35 \times 0.65}{200}} \approx \sqrt{\frac{0.2275}{200}} \approx 0.0337$
步骤3：计算边际误差
边际误差公式为：
$\text{Margin of Error} = z_{\alpha/2} \times \text{标准误} = 1.96 \times 0.0337 \approx 0.066$
步骤4：构建置信区间
置信区间为：
$\hat{p} \pm \text{Margin of Error} = 0.35 \pm 0.066 = (0.284, 0.416)$