题目

已知 y=(2+x^2)^x，则 y'=A. (2+x^2)^x[ln(2+x^2)+(2x^2)/(2+x^2)]B. (2+x^2)^x[ln(2+x^2)+(2x)/(2+x^2)]C. (2+x^2)^x[ln(2+x^2)+(x^2)/(2+x^2)]D. (2+x^2)^x[ln(2+x^2)+(x)/(2+x^2)]

已知 $y=(2+x^2)^x$，则 $y'=$ A. $(2+x^2)^x\left[\ln(2+x^2)+\frac{2x^2}{2+x^2}\right]$ B. $(2+x^2)^x\left[\ln(2+x^2)+\frac{2x}{2+x^2}\right]$ C. $(2+x^2)^x\left[\ln(2+x^2)+\frac{x^2}{2+x^2}\right]$ D. $(2+x^2)^x\left[\ln(2+x^2)+\frac{x}{2+x^2}\right]$

题目解答

答案

我们要求函数 $ y = (2 + x^2)^x $ 的导数 $ y' $。

这个函数是一个 幂指函数，即变量既出现在底数中，也出现在指数中，因此不能直接用幂函数或指数函数的求导公式。我们需要使用 对数求导法。

第一步：取自然对数

设：
$y = (2 + x^2)^x$

两边取自然对数：
$\ln y = \ln\left[(2 + x^2)^x\right] = x \ln(2 + x^2)$

第二步：两边对 $ x $ 求导

左边是 $ \ln y $，对 $ x $ 求导使用链式法则：
$\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y} \cdot y'$

右边是 $ x \ln(2 + x^2) $，使用乘积法则求导：
$\frac{d}{dx}\left[x \ln(2 + x^2)\right] = \ln(2 + x^2) + x \cdot \frac{d}{dx}[\ln(2 + x^2)]$

计算 $ \frac{d}{dx}[\ln(2 + x^2)] $：
$\frac{1}{2 + x^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{2 + x^2}$

所以右边导数为：
$\ln(2 + x^2) + x \cdot \frac{2x}{2 + x^2} = \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2}$

第三步：整理导数表达式

我们有：
$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2}$

两边乘以 $ y $：
$y' = y \left[ \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2} \right]$

而 $ y = (2 + x^2)^x $，所以：
$y' = (2 + x^2)^x \left[ \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2} \right]$

第四步：选择正确答案

对比选项：

A. $ (2+x^2)^x\left[\ln(2+x^2)+\frac{2x^2}{2+x^2}\right] $ ✅

B. $ \frac{2x}{2+x^2} $ ❌（分子应为 $ 2x^2 $）

C. $ \frac{x^2}{2+x^2} $ ❌

D. $ \frac{x}{2+x^2} $ ❌

最终答案：

$\boxed{\text{A}}$

解析

本题考查幂指函数的求导，解题思路是使用对数求导法。对于幂指函数$y = (2 + x^2)^x$，由于变量既出现在底数中，也出现在指数中，不能直接用幂函数或指数函数的求导公式，所以采用对数求导法，具体步骤如下：

  1. 取自然对数：
    设$y = (2 + x^2)^x$，两边取自然对数可得$\ln y = \ln\left[(2 + x^2)^x\right]$。
    根据对数运算法则$\ln a^b = b\ln a$，则$\ln\left[(2 + x^2)^x\right]= x \ln(2 + x^2)$，即$\ln y = x \ln(2 + x^2)$。
  2. 两边对$x$求导：
    • 对左边$\frac{d}{dx}(\ln y)$，根据链式法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，这里$f(u)=\ln u$，$u = y$，所以$\frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{1}{y} \cdot y'$。
    • 对右边$\frac{d}{dx}\left[x \ln(2 + x^2)\right]$，根据乘积法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x$，$v = \ln(2 + x^2)$，则$\frac{d}{dx}\left[x \ln(2 + x^2)\right] = \ln(2 + x^2) + x \cdot \frac{d}{dx}[\ln(2 + x^2)]$。
      计算$\frac{d}{dx}[\ln(2 + x^2)]$，令$t = 2 + x^2$，则$\frac{d}{dx}[\ln(2 + x^2)]=\frac{d}{dt}(\ln t)\cdot\frac{dt}{dx}$。
      因为$\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{t}$，$\frac{dt}{dx}=2x$，所以$\frac{d}{dx}[\ln(2 + x^2)]=\frac{1}{2 + x^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{2 + x^2}$。
      那么右边导数为$\ln(2 + x^2) + x \cdot \frac{2x}{2 + x^2} = \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2}$。
  3. 整理导数表达式：
    由$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2}$，两边同时乘以$y$，可得$y' = y \left[ \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2} \right]$。
    又因为$y = (2 + x^2)^x$，所以$y' = (2 + x^2)^x \left[ \ln(2 + x^2) + \frac{2x^2}{2 + x^2} \right]$。