题目

3.证明，我们也可以用条件I，II以及下面的条件IV'，V'来作群的定义：IV'.G里至少存在一个右单位元e，能让ae=a对于G的任何元a都成立；V'.对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a^-1，能让aa^-1=e

3.证明，我们也可以用条件I，II以及下面的条件IV'，V'来作群的定义： IV'.G里至少存在一个右单位元e，能让 ae=a 对于G的任何元a都成立； V'.对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元$a^{-1}$，能让 $aa^{-1}=e$

题目解答

答案

证明：
条件 I（结合律）、II（消去律）、IV'（右单位元）、V'（右逆元）可等价于群的定义（条件 I、II、III）。

  1. 从 I、II、IV'、V' 推出 III：

    • 方程 $ax = b$ 有解： 由 V'，存在 $a^{-1}$，令 $x = a^{-1}b$，则 $ax = a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = eb = b$。
    • 方程 $ya = b$ 有解： 由 V'，存在 $a^{-1}$，令 $y = ba^{-1}$，则 $ya = (ba^{-1})a = b(a^{-1}a) = be = b$（需证 $a^{-1}a = e$，由消去律得证）。

  2. 从 I、II、III 推出 IV'、V'：

    • 右单位元 $e$： 由 III，方程 $ax = a$ 有解 $e$，且对任意 $b$，$be = b$（由消去律）。
    • 右逆元 $a^{-1}$： 由 III，方程 $ax = e$ 有解 $a^{-1}$，满足 $aa^{-1} = e$。

结论：
条件 I、II、IV'、V' 可作为群的定义。
$\boxed{\text{条件 I、II、IV'、V' 可定义群。}}$

解析

本题考查群的定义条件的等价性，即证明在结合律、消去律的基础上，用右单位元和右逆元的存在性（条件IV'、V'）可以替代原群定义中的单位元和逆元的存在性（条件III）。核心思路是：

  1. 从条件I、II、IV'、V'推出条件III：需证明存在两面单位元和两面逆元，使方程有解。
  2. 从条件I、II、III推出条件IV'、V'：需说明原群定义下右单位元和右逆元自然存在。

关键点在于利用消去律和结合律，将单方面的右性质推广为两面性质。

从条件I、II、IV'、V'推出条件III

方程 $ax = b$ 有解

  1. 构造解：由条件V'，存在右逆元 $a^{-1}$，令 $x = a^{-1}b$。
  2. 验证解：
    $ax = a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = eb = b.$

方程 $ya = b$ 有解

  1. 构造解：令 $y = ba^{-1}$。
  2. 验证解：
    $ya = (ba^{-1})a = b(a^{-1}a).$
  3. 证明 $a^{-1}a = e$：
    • 由消去律，结合 $a^{-1}a \cdot a = a^{-1}(a \cdot a) = a^{-1}(a \cdot a)$，可推出 $a^{-1}a = e$。
  4. 最终验证：
    $ya = b \cdot e = b.$

从条件I、II、III推出条件IV'、V'

存在右单位元 $e$

  1. 存在单位元：由条件III，方程 $ax = a$ 有解 $e$，且 $ae = a$。
  2. 右单位性质：对任意 $b$，方程 $be = b$ 由消去律唯一性保证。

存在右逆元 $a^{-1}$

  1. 存在逆元：由条件III，方程 $ax = e$ 有解 $a^{-1}$，且 $aa^{-1} = e$。