设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1与X2均服从标准正态分布,X3的概率分布为P(x3=O)=P(X3=1)=:Y=X3X1+(1-X3)X2·(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数,结果用标准正态分布函数(x)表示(2)证明随机变量Y服从标准正态分布

考查要点：本题主要考查随机变量的混合分布、条件概率的全概率公式应用，以及标准正态分布的性质。

解题核心思路：

1. 分情况讨论：由于$X_3$取0或1，$Y$的表达式会根据$X_3$的值分为两种情况：$Y=X_2$（当$X_3=0$）或$Y=X_1$（当$X_3=1$）。
2. 全概率公式：利用全概率公式将两种情况的概率加权求和。
3. 独立性：$X_1$与$X_2$独立，且$X_3$与两者均独立，简化联合概率计算。

破题关键点：

• 明确$Y$的表达式：根据$X_3$的取值拆分$Y$的表达式。
• 联合分布的分解：将二维分布函数拆分为$X_3=0$和$X_3=1$两种情况下的联合概率。
• 标准正态分布的性质：利用独立变量的联合概率为边缘概率的乘积。

第（1）题

目标：求二维随机变量$(X_1, Y)$的分布函数$F(x, y) = P\{X_1 \leq x, Y \leq y\}$。

分情况讨论

根据$X_3$的取值，分两种情况计算概率：

1. 当$X_3=0$时：

   • $Y = X_2$，此时$Y \leq y$等价于$X_2 \leq y$。
   • 由于$X_1$与$X_2$独立，联合概率为：
     $P\{X_1 \leq x, X_2 \leq y\} = \Phi(x)\Phi(y)$
   • 加权概率为$\frac{1}{2} \Phi(x)\Phi(y)$。

2. 当$X_3=1$时：

   • $Y = X_1$，此时$Y \leq y$等价于$X_1 \leq y$。
   • 联合概率为$P\{X_1 \leq \min(x, y)\} = \Phi(\min(x, y))$。
   • 加权概率为$\frac{1}{2} \Phi(\min(x, y))$。

合并结果

将两种情况的概率相加，得到：
$F(x, y) = \frac{1}{2} \Phi(x)\Phi(y) + \frac{1}{2} \Phi(\min(x, y))$

第（2）题

目标：证明$Y$服从标准正态分布。

分析$Y$的分布

• 当$X_3=0$时，$Y=X_2 \sim N(0,1)$。
• 当$X_3=1$时，$Y=X_1 \sim N(0,1)$。
• 由于$X_3$独立于$X_1$和$X_2$，$Y$的分布是两种情况的混合，各占$\frac{1}{2}$的概率。

计算分布函数

$\begin{aligned}F_Y(y) &= P\{Y \leq y\} \\&= P\{Y \leq y \mid X_3=0\}P\{X_3=0\} + P\{Y \leq y \mid X_3=1\}P\{X_3=1\} \\&= P\{X_2 \leq y\} \cdot \frac{1}{2} + P\{X_1 \leq y\} \cdot \frac{1}{2} \\&= \frac{1}{2} \Phi(y) + \frac{1}{2} \Phi(y) \\&= \Phi(y)\end{aligned}$

因此，$Y$服从标准正态分布。